数学七年级下册（2024）第九章 平面直角坐标系9.2 坐标方法的简单应用9.2.2 用坐标表示平移优秀课后复习题

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知识点01 坐标系中点的平移
点的平移：
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。即a，b左右平移m各单位后得到 a±m，b 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。即a，b上下平移m各单位后得到 a，b±m 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【即学即练1】
1．点P（﹣2，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（1，2）C．（﹣5，﹣8）D．（1，﹣8）
【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加，求出点P对应点的坐标即可得解．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（﹣2+3，﹣3+5），即（1，2）．
故选：B．
【即学即练2】
2．平面直角坐标系中，将点P向上平移3个单位长度得到点P′（2，﹣1），则点P的坐标是（ ）
A．（5，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，﹣4）D．（2，2）
【分析】根据将点P向上平移3个单位长度得到点P′（2，﹣1），则﹣1﹣3＝﹣4，即可作答．
【解答】解：∵将点P向上平移3个单位长度得到点P′（2，﹣1），
∴﹣1﹣3＝﹣4，
∴点P的坐标是（2，﹣4）．
故选：C．
【即学即练3】
3．在直角坐标系中，把点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，恰好与原点重合，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得（m﹣2，n+3），根据平移后恰好与原点重合，即可求出m的值．
【解答】解：∵点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得（m﹣2，n+3），且恰好与原点重合，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2．
故选：A．
知识点02 坐标系中图形的平移
图形的平移：
图形平移时，把图形的关键点按照点的平移进行平移，然后把平移后的点按照原图形连接。因为图形是整体平移，所以图形上的每一个点都遵循同一个平移规律。
【即学即练1】
4．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，3）C．（﹣4，3）D．（2，2）
【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．
【解答】解：因为点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
所以2﹣（﹣3）＝5，5﹣4＝1，
即将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度可得△A1B1C1，
所以﹣4+5＝1，2+1＝3，
即点B的对应点B1的坐标为（1，3）．
故选：B．
知识点03 从图形上的点的坐标变化判断平移
从图形上的点的坐标变化判断如何平移：
一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形 向左（或向右） 平移了a个单位长度得到；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形 向上（或向下） 平移了a个单位长度得到。
【即学即练1】
5．如果将平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，那么下列平移方法中正确的是
（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，
∴向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．
故选：C．
题型01 求平移后的坐标
【典例1】在平面直角坐标系中，若A（2，4）先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（8，8）B．（6，10）C．（6，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求解即可．
【解答】解：∵A（2，4）先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到点B，
∴点B的横坐标为2+4＝6，纵坐标为4﹣6＝﹣2，
∴点B的坐标为（6，﹣2）．
故选：C．
【变式1】将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（﹣2，4）C．（2，5）D．（1，5）
【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
【解答】解：∵将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点B，
∴点B的横坐标为2﹣3＝﹣1，纵坐标为﹣1+5＝4，
∴B的坐标为（﹣1，4）．
故选：A．
【变式2】在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A′B′，点A（2，﹣1）的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣1），则点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣1）B．（﹣5，2）C．（3，2）D．（﹣3，2）
【分析】根据图形平移的性质，即可求解．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A′B′，点A（2，﹣1）的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣1），
∴线段AB向左平移4个单位，
∴点B（﹣1，2）向左平移4个单位，得到对应点B′的坐标为（﹣5，2）．
故选：B．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，3），将线段AB平移后得到线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D．若点C的坐标为（1，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（1，3）C．（﹣5，﹣1）D．（﹣1，﹣5）
【分析】先通过点A的对应点为C，进而确定平移方式，然后利用平移变换的规律即可解答．
【解答】解：由题意可得：线段AB向右平移3个单位，向下平移2个单位得到线段CD，
∴点B（0，3）的对应点D的坐标为（0+3，3﹣2），即D（3，1），
故选：A．
题型02 求平移前的坐标
【典例1】平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′（2，1），则点A的坐标是（ ）
A．（5，1）B．（2，4）C．（﹣1，1）D．（2，﹣2）
【分析】将点A'的横坐标减3，纵坐标不变即可得到点A的坐标．
【解答】解：将点A向右平移3个单位长度后得到点A'（2，1），
∴点A的坐标是（2﹣3，1），即点A的坐标为（﹣1，1），
故选：C．
【变式1】将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣4，1）C．（2，5）D．（1，0）
【分析】根据题意可得将点Q向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【解答】解：∵将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），
∴将点Q向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，
∵Q（﹣4，1），
∴点P的坐标为（﹣4+3，1+2），即（﹣1，3），
故选：A．
【变式2】已知△ABC的一个顶点A的坐标为（a，b），将△ABC沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【分析】利用平移变换的规律得点A平移后的坐标，根据平移后恰好落在原点上，求出a和b即可得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后得（a﹣2，b+3），
又∵平移后恰好落在原点上，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴平移前点A的坐标是（2，﹣3）．
故选：C．
【变式3】点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣7，0）C．（2，9）D．（3，10）
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m﹣2﹣2＝0，
∴m＝4，
∴点M（2，9），
故选：C．
题型03 判断点或图形的平移情况
【典例1】在平面直角坐标系中，若将原图形上的每个点的纵坐标都加2，横坐标保持不变，则所得图形的位置与原图相比（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位
【分析】根据点坐标平移特点：向左平移，横坐标减，向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加，向下平移，纵坐标减进行求解即可．
【解答】解：∵将原图形上的每个点的纵坐标都加2，横坐标保持不变，
∴所得图形的位置与原图相比向上平移了2个单位长度．
故选：C．
【变式1】若使△ABC的三个顶点在直角坐标系中的纵坐标不变，横坐标增加3个单位，则△ABC平移方向和距离是（ ）
A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位
【分析】根据平移中图形的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减判断即可．
【解答】解：∵使△ABC的三个顶点在直角坐标系中的纵坐标不变，横坐标增加3个单位，
∴△ABC平移方向和距离是向右平移3个单位．
故选：B．
【变式2】在平面直角坐标系中，点P（2，3）经两次平移后，所得到的点的坐标为（4，1），则点P经过的两次平移是（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
【分析】根据点P和其平移后对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题．
【解答】解：因为点P坐标为（2，3），其平移后的对应点坐标为（4，1），
所以4﹣2＝2，1﹣3＝﹣2，
即将点P先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点（4，1）．
故选：A．
【变式3】将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（ ）
A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
【分析】由点A（﹣2，2）及其对应点A'（﹣1，4），知横坐标增加1，纵坐标增加2，据此可得答案．
【解答】解：由点A（﹣2，2）及其对应点A'（﹣1，4），知向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度，
故选：C．
题型04 利用平移规律求值
【典例1】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．
【解答】解：由题意得A（﹣1，0），A'（2，a），
∴A'是点A向右平移2﹣（﹣1）＝3个单位得到；
∵B（0，2），B'（b，1），
∴点B'是点B向下平移2﹣1＝1个单位得到；
∴线段A'B'是线段AB先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，
故a＝0﹣1＝﹣1，b＝0+3＝3，
∴a+b＝﹣1+3＝2，
故选：A．
【变式1】在平面直角坐标系中，已知点P坐标为（0，﹣3）、点Q坐标为（5，1），连接PQ后平移得到P1Q1，若P1（m，﹣2）、Q1（2，n），则nm的值是（ ）
A．19B．18C．8D．9
【分析】根据平行的性质，建立关于m，n的等式，据此进行计算即可解决问题．
【解答】解：由题知，
0﹣m＝5﹣2，﹣3﹣（﹣2）＝1﹣n，
解得m＝﹣3，n＝2，
所以nm＝2﹣3=18．
故选：B．
【变式2】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，3），将线段AB平移后，得到线段CD，点A与点C对应，若点C（2，a），点D（b，0），则a+b＝ 1 ．
【分析】点A（﹣2，0）对应点C的坐标为C（2，a），知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点B（0，3）对应点D（b，0），知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答．
【解答】解：∵点A（﹣2，0）对应点C的坐标为C（2，a），点B（0，3）对应点D（b，0），
∴线段AB向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段CD，
∴a＝0﹣3＝﹣3，b＝0+4＝4，
∴a+b＝﹣3+4＝1，
故答案为：1．
【变式3】在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，3）向右平移5个单位得到点Q（2﹣2b，3），则2a+4b+7的值为 3 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：∵把点P（a﹣1，3）向右平移5个单位得到点Q（2﹣2b，3），
∴a﹣1+5＝2﹣2b，
∴a+2b＝﹣2，
∴2a+4b+7＝2（a+2b）+7＝﹣4+7＝3．
故答案为：3．
【变式4】在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，﹣3）和点B（2，1﹣m）．
（1）若AB⊥x轴，求m的值；
（2）若将点A向上平移a个单位，再向右平移a个单位，得到点B，求a的值．
【分析】（1）根据AB⊥x轴得出AB∥y轴，得出A、B两点横坐标相等，构建方程求解；
（2）利用平移变换的规律，构建方程组求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴2m+1＝2，
解得：m=12；
（2）由题意得−3+a=1−m2m+1+a=2，
∴解方程组得：m=−3a=7，
∴a＝7．
1．若将点A（2，3）向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（5，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（5，7）D．（﹣1，7）
【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后横纵坐标进而得出答案．
【解答】解：将点A（2，3）向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点B，则点B的坐标为（2﹣3，3﹣4），
即（﹣1，﹣1）．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，直线l经过M（﹣1，2），N（1，﹣1）两点．现将直线l平移，使点M到达点（1，﹣2）处，则点N到达的点是（ ）
A．（3，﹣5）B．（3，3）C．（﹣1，﹣5）D．（﹣1，3）
【分析】根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”进行求解即可．
【解答】解：点N（1，﹣1）经过平移后到达的点的坐标是（3，﹣5）；
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣3，2）的对应点为A′（2，﹣1），点B的对应点B′的坐标为（6，1），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（2，5）
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，2）的对应点为A′（2，﹣1），
∴线段A′B′是由线段AB先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，
而点B的对应点为B′（6，1），
∴点B的坐标为（1，4）．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m+3，n﹣2）B．（m+3，n+2）C．（m﹣3，n﹣2）D．（m﹣3，n+2）
【分析】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点（m，n）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，最后所得点的坐标是（m+3，n+2），
故选：B．
5．如图，点A（﹣1，0），点B（0，2），线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′（2，a），点B′（b，1），则a﹣b的值是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
【分析】各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标减1，即可得到结论．
【解答】解：由题意得，对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标减1，
∴0﹣1＝a，0+3＝b，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4．
故选：D．
6．将P点（m，m+1）向上平移3个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（0，﹣4）D．（﹣4，0）
【分析】根据上下平移时横坐标不变，纵坐标上移加、下移减，可得点Q（m，m+4），再根据x轴上的点纵坐标为0可得m+4＝0，算出m的值，可得点Q的坐标．
【解答】解：∵P点（m，m+1）向上平移3个单位到Q点，
∴Q（m，m+4），
∵点Q在x轴上，
∴m+4＝0，
解得：m＝﹣4，
∴点Q点坐标为（﹣4，0）．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点都在网格点上，将四边形ABCD平移使得点B与点D重合，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，﹣2）C．（2，3）D．（﹣2，4）
【分析】首先由点B平移至点D，可得先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据平移方法可得A平移后的坐标．
【解答】解：由点B平移至点D，可得先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∵A的坐标是（﹣2，﹣1），
∴点A的对应点的坐标为（﹣2+4，﹣1﹣1），即（2，﹣2）．
故选：B．
8．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，4）
【分析】由B（3，0）可得OB＝3，进而得到BE＝1，即将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的，
∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）．
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′．若点A′位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m＞1，n＜﹣2B．m＞1，n＞﹣2C．m＜1，n＜﹣2D．m＜1，n＞﹣2
【分析】先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A′（m﹣1，n+2），再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可．
【解答】解：∵将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′，
∴A′（m﹣1，n+2），
∵A′（m﹣1，n+2）在第二象限，
∴m﹣1＜0，n+2＞0，
∴m＜1，n＞﹣2，
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣1，2）C．（﹣6，2）D．（﹣3，4）
【分析】先根据P点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），
∴设A（x，y），
∵点A1的坐标为（5，﹣1），
∴x+8＝5，y﹣5＝﹣1，
解得x＝﹣3，y＝4，
∴A（﹣3，4）．
故选：D．
11．若点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】先平移点，再根据x轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案．
【解答】解：∵点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位，
∴点A1（﹣5m，2m﹣1+3）向上平移3个单位，
∵点A1（﹣5m，2m﹣1+3）在x轴上，
∴2m﹣1+3＝0，解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．将平面直角坐标系平移，使原点O移至点A（5，﹣3）的位置，则在新坐标系中原来点O的坐标为 （﹣5，3） ．
【分析】由原点O移至点A（5，﹣3）的位置，可知坐标系向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，然后根据逆向思维可进行求解．
【解答】解：在新坐标系中原来点O的坐标为（﹣5，3）；
故答案为（﹣5，3）．
13．在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为 15 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点P（a﹣1，5）向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为（2﹣2b，5），
∴a﹣1﹣3＝2﹣2b，
∴a+2b＝6，
∴2a+4b+3＝2（a+2b）+3＝2×6+3＝15，
故答案为：15．
14．我们知道，在平面直角坐标系中，将点（x，y）上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码（1，5），（2，2），对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”；按此方法，若输入数字密码（6，5），（7，3），则最后输出口令为 数学 ．
【分析】根据输入数字密码（1，5），（2，2），对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”，得出平移规律进而解答即可．
【解答】解：输入数字密码（1，5），（2，2），对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”，可得平移规律为：向右平移1个单位，向上平移2个单位，
所以输入数字密码（6，5），（7，3），则最后输出口令为数学，
故答案为：数学．
15．对于平面直角坐标系中的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P′称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点A（1，1），点B（6，0），C（8，﹣2），点M是线段BC上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为A′，当t的取值范围是 3≤t≤5 时，A′M的最小值保持不变．
【分析】作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点A′在A′A″上时满足条件，即可解答．
【解答】解：如图，A′A″∥BC，当点A′在A′A″上时，根据平行线间的距离处处相等可得A′M的最小值保持不变，
∵A′（4，﹣2），A″（6，﹣4），
∴3≤t≤5．
故答案为：3≤t≤5
16．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）填空：点A的坐标是 （2，﹣1） ，点B的坐标是 （4，3） ；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用点的坐标的表示方法写出A点和B点坐标；
（2）利用点的坐标平移规律写出点A′、B′、C′的坐标，然后描点得到△A′B′C′；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）；
故答案为（2，﹣1），（4，3）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）△ABC的面积＝3×4−12×2×4−12×3×1−12×3×1＝5．
17．已知点P（3a﹣15，2﹣a）．
（1）若点P到x轴的距离是1，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
【分析】（1）根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．
（2）利用平移的性质解决问题即可．
（3）根据不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）∵点P（3a﹣15，2﹣a），
∴|2﹣a|＝1，
∴a＝1或a＝3．
（2）由a＝1得：点P（﹣12，1），
由a＝3得：点P（﹣6，﹣1），
∴点Q的坐标为（﹣12，4）或（﹣6，2）．
（3）∵点P（3a﹣15，2﹣a）位于第三象限，
∴3a−15＜02−a＜0，
解得：2＜a＜5．因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝3或4，
当a＝3时，点P（﹣6，﹣1），
当a＝4时，点P（﹣3，﹣2）．
18．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 （5，﹣3），（﹣3，5） ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标．
【分析】（1）根据“伴随点”的定义求解即可；
（2）根据“伴随点”的定义列方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，a＝x+y＝4+1＝5，b＝﹣x+y＝﹣4+1＝﹣3，
∴点A的一对伴随点坐标为：（5，﹣3），（﹣3，5）；
故答案为：（5，﹣3），（﹣3，5）；
（2）由题意得，C′（2m﹣1，m+1），
此时，a＝2m﹣1+m+1＝3m，
b＝﹣2m+1+m+1＝﹣m+2，
则C′点的伴随点为（﹣m+2，3m）和（3m，﹣m+2），
∴这两个伴随点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
∴﹣m+2＝3m，解得，m=12，
∴3m﹣1=12，m+1=32，
∴C点坐标为（12，32）．
19．如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（2）若点M（a+1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4+b），求a和b的值；
（3）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ∠CBC′＝∠B′C′O+90° ．
【分析】（1）根据所给图形，即可得出点B和点B′的坐标，进而得出平移的方式即可解决问题．
（2）根据（1）中所得平移方式即可解决问题．
（3）根据平移的性质，得出BC∥B′C′，结合平行线的性质和∠BC′O﹣90°即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
点B的坐标为（2，1），点B′的坐标为（﹣1，﹣2），
所以2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，
则△A′B′C′是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到）．
（2）因为点M是△ABC内一点，
所以平移后点M对应点的坐标可表示为（a+1﹣3，2b﹣5﹣3），
因为平移后点M对应点N的坐标为（2a﹣7，4+b），
所以a+1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4+b，
解得a＝5，b＝12．
（3）由平移可知，
BC∥B′C′，
所以∠CBC′＝∠B′C′B．
因为∠B′C′B＝∠B′C′O+∠BC′O＝∠B′C′O+90°，
所以∠CBC′＝∠B′C′O+90°．
故答案为：∠CBC′＝∠B′C′O+90°．
20．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4−a+(b−3)2=0．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 1，4 ）、B（ 3，0 ）、C（ 2，﹣4 ）；
②直接写出三角形AOH的面积 2 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．
②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论．
（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．
【解答】（1）解：①∵4−a+(b−3)2=0，
又∵4−a≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4），
故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．
②△AOH的面积=12×1×4＝2，
故答案为：2．
（2）证明：如图，连接DH．
∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，
∴12×1×n+12×4×（1﹣m）＝2，
∴4m＝n．
（3）解：①当点P在线段OB上，12×（3﹣2t）×4=12×2t，
解得t＝1.2．
此时P（0.6，0）．
②当点P在BO的延长线上时，12×（2t﹣3）×4=12×2×t，
解得t＝2，
此时P（﹣1，0），
综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．
课程标准
学习目标
①坐标系中点的平移
②坐标系中图形的平移
③从图形上的点的坐标变化确定平移
掌握坐标在坐标系中平移的变化规律，能够熟练根据规律求出平移前后的坐标，也能根据坐标的前后变化判断坐标的平移。
能够熟练的根据点的平移得到图形的平移。