2025高考数学一轮复习-11.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-11.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【含答案】，共8页。
一、单项选择题
1．一个火车站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有( )
A．84种B．48种
C．Ceq \\al(4,8)种D．Aeq \\al(4,8)种
2．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种B．60种
C．120种D．240种
3．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A．15B．30
C．35D．42
4．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种B．16种
C．12种D．8种
5．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有( )
A．90种B．120种
C．150种D．18种
6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为( )
A．144B．120
C．72D．24
7．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A．18种B．36种
C．72种D．108种
8．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数的个数为( )
A．96B．78
C．72D．64
二、多项选择题
9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A．若任意选科，选法总数为Ceq \\al(2,4)
B．若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1
10．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列说法正确的是( )
A．共有18种安排方法
B．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法
C．若A社区需要2名志愿者，则有24种安排方法
D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法
11．现有4个小球和4个小盒子，下列结论正确的是( )
A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
三、填空题
12．把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．
13．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城：“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路……，依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有________个矩形．
14.某次灯谜大会共设置6道不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一道谜题，并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6道谜题，则一名参与者有________种不同的答题顺序．
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15．(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某运动会的志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的安排方法数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法数为Aeq \\al(4,5)Ceq \\al(1,4)
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3))Aeq \\al(3,3)
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法数为Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)
16.(多选)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则( )
A．若n＝2，则共有3种不同走法
B．若n＝2，则共有5种不同走法
C．若n＝3，则共有25种不同走法
D．若n＝3，则共有27种不同走法
17．某34人的班级派5人参观展览，班级里有11人喜欢唱，4人喜欢跳，5人喜欢rap，14人喜欢篮球，每个人只喜欢一种.5人站一队参观，但是展览馆不希望队伍中第k，k＋1，k＋2，k＋3个人分别喜欢唱、跳、rap、篮球．当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的人的喜好不同，两个队伍才被认为是不同的，则满足上述条件的不同的排队方案数为________．
18．第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数为________(用数字作答)．
参考答案
一、单项选择题
1．答案 D
解析 因为一个火车站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，所以有Aeq \\al(4,8)种不同的停放方法．
2．答案 C
解析 首先确定相同的读物，共有Ceq \\al(1,6)种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物中选出2种进行排列，共有Aeq \\al(2,5)种情况，根据分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,6)Aeq \\al(2,5)＝120种选法．故选C.
3．答案 B
解析 甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有Ceq \\al(3,7)种情况，发言的3人来自2家企业的情况有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)＝30种．
4．答案 B
解析 因为乙和丙之间恰有2人，所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙、丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙、丙中间，排乙、丙有Aeq \\al(2,2)种方法，排甲有Aeq \\al(1,2)种方法，剩余两个位置两人全排列有Aeq \\al(2,2)种排法，所以有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(1,2)×Aeq \\al(2,2)＝8种方法；②当乙、丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙、丙中间，排乙、丙有Aeq \\al(2,2)种方法，排甲有Aeq \\al(1,2)种方法，剩余两个位置两人全排列有Aeq \\al(2,2)种排法，所以有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(1,2)×Aeq \\al(2,2)＝8种方法．由分类加法计数原理可知，共有8＋8＝16种排法．故选B.
5．答案 A
解析 由题意，先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中，则不同的安排方法有eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝90种．
6．答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任意两人不相邻的坐法种数为Aeq \\al(3,4)＝4×3×2＝24.
7．答案 B
解析 先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有Aeq \\al(2,3)种放法；再排剩余的3道程序，共有Aeq \\al(3,3)种放法，则共有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝36种放法．
8．答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有Aeq \\al(4,4)＝24个；当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝54个．因此共有54＋24＝78个符合要求的五位数．
二、多项选择题
9．答案 BD
解析 若任意选科，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)，A错误；若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1，D正确．
10．答案 BD
解析 对于A，4名志愿者先分为三组，再分配到三个社区，所以安排方法种数为Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36，A错误；对于B，甲、乙被安排在同社区，先从三个社区中选一个安排甲与乙，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的两个社区中，所以安排方法种数为Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6，B正确；对于C，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的两个社区中，所以安排方法种数为Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)＝12，C错误；对于D，甲安排在A社区，分为两种情况：第一种是A社区安排了2名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择1名分到A社区，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的两个社区中，安排方法有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余的3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)种，所以安排方法种数为Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝12，D正确．
11．答案 BCD
解析 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256种放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有Ceq \\al(2,4)(Aeq \\al(2,2)＋1)＝18种放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有Ceq \\al(1,4)·eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3),Aeq \\al(2,2))＝144种放法，故C正确；若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况有(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9种放法，故D正确．
三、填空题
12．答案 240
解析 由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)＝240种不同的分法．
13．答案 3025
解析 要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为Ceq \\al(2,11)Ceq \\al(2,11)＝3025.
14.答案 60
解析 将6只灯笼全排，即Aeq \\al(6,6)，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，所以取谜题的方法有eq \f(Aeq \\al(6,6),Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2))＝60种．即一名参与者有60种不同的答题顺序．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
15．答案 AD
解析 对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种不同的安排方法，A正确；对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排四项工作，有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)种不同的安排方法，B错误；对于C，先将5人分为3组，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2),Aeq \\al(2,2))＋\f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3),Aeq \\al(2,2))))种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有Aeq \\al(3,3)种情况，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2),Aeq \\al(2,2))＋\f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3),Aeq \\al(2,2))))Aeq \\al(3,3)种不同的安排方法，C错误；对于D，①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)种不同的安排方法，D正确．故选AD.
16.答案 BD
解析 由题意知正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8.当n＝2时，骰子的点数之和是8，列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确；当n＝3时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有(1，2，5)，(1，3，4)，(1，1，6)，(2，2，4)，(2，3，3)，(4，6，6)，(5，5，6)，共7种组合，前2种组合(1，2，5)，(1，3，4)，每种情况可以排列出Aeq \\al(3,3)＝6种结果，共有2Aeq \\al(3,3)＝2×6＝12种结果，其中(1，1，6)，(2，2，4)，(2，3，3)，(4，6，6)，(5，5，6)各可以排列出3种结果，共有5×3＝15种结果．根据分类加法计数原理，知共有12＋15＝27种结果，故C错误，D正确．
17．答案 1015
解析 如果5个人中喜欢的种类有1种，则不同的排队方案数为3；如果5个人中喜欢的种类有2种，则不同的排队方案数为Ceq \\al(2,4)(Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,5)Aeq \\al(2,2))＝180；如果5个人中喜欢的种类有3种，则不同的排队方案数为Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(3,3)＋\f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)))＝600；如果5个人中喜欢的种类有4种，则不同的排队方案数为Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)－8＝232.故不同的排队方案数为3＋180＋600＋232＝1015.
18．答案 336
解析 由题意可分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种选两个，另一种选一个，有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝24种排法；其次，后排有Aeq \\al(2,2)＝2种排法，故共有24×2＝48种不同的排法．②前排含有三种不同名称的吉祥物，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝48种排法；后排有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，此时共有48×6＝288种排法．因此，共有48＋288＝336种排列。