湘教版（2019）选择性必修 第一册2.1 直线的斜率背景图课件ppt

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解析几何是17 世纪数学发展的重大成果之 一，它是用代数方法来研究几何图形性质的一门学科．通过建立坐标系，把几何图形的最基本元素 — 点和曲线分别用坐标和方程来描述，把几何问题转化成数和方程的问题，用代数运算求解，再将所得到的结论翻译成几何的语言． 本章，我们以熟悉的几何图形 — 直线和圆为研究对象，在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，通过对方程的讨论，研究它们的几何性质及其相互的位置关系，体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力．
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我们知道，在平面上两点确定一条直线，一个已知点却不能确定一条直线．如图 2.1-1，过已知点 P可以画无数条直线．这些直线的区别在哪里呢?
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线则应该用直线上所有点的坐标共同满足的关系来表示．为了用代数方法研究直线的几何性质，本节首先探索确定直线位置的几何要素，然后用代数语言把这些几何要素表示出来．
容易发现，这些直线的方向不同，也就是倾斜程度不同．只要能想出办法刻画直线的倾斜程度，就可以用倾斜程度来刻画直线的方向．
当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正方向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．
建立平面直角坐标系时，把 x 轴摆放在水平方向上，直线 l 偏离 x 轴所成的角 α 就可以刻画直线的倾斜程度．
如图(2)，直线 l 的倾斜角是锐角；如图(4)，直线 l 的倾斜角是钝角．如图(3)，当直线 l 与 x 轴垂直时，规定倾斜角 α = π/2 （直角）；如图(1)，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定倾斜角 α = 0．因此，倾斜角的取值范围是 0 ≤ α < π．
平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角α，而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度，以刻画直线的方向，再结合直线上的一个定点，就可以唯一确定这条直线了．
在实际生活中，我们经常用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度．例如，在图 2.1-3 中，沿着这条道路从A点前进到B点，设在水平方向向右前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB（如果是下降，则DB的值为负实数），则
坡度 k > 0表示这段道路是上坡，k = 0表示是平路，k < 0表示是下坡，| k |越大说明坡越陡．
下面，我们来探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率．设直线l不垂直于x 轴．已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，求直线 l 的斜率．
上式即为经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，（x1≠x2）的直线的斜率公式．
例1
如图2.1-5，已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)，（1）求直线 AB，BC，CA的斜率；（2）求直线 BC，CA 的倾斜角．
解：（2）设直线 BC的倾斜角为α． 由 tan α = kBC = －1，且0 ≤ α < π， 可知倾斜角
设直线CA的倾斜角为β． 由 tan β = kCA = 1，且0 ≤ β < π， 可知倾斜角
例2
在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的
 直线 l1，l2．
分析：要画出过点A(2，0)且斜率为 2（或－2）的直线，只需再确定直线 上异于点 A 的另一个点的位置（即坐标）．
解：设直线 l1 上另一点 B的坐标为(x1，y1)， 根据斜率公式有 即y1=2(x1－2)．不妨取x1=0，则y1=－4， 于是得点B的坐标为(0，－4) 过点A(2，0)及点B(0，－4)作直线即为l1，如图．
同样地，设直线 l2 上另一点C的坐标为(x2，y2)， 根据斜率公式有 即y2=－2(x2－2)．不妨取x2=0，则y2=4， 于是得点C的坐标为(0，4) 过点A(2，0)及点C(0，4)作直线即为l2，如图．
例3
设一次函数 y = kx＋b的图象为直线 l，求l 的斜率．
解：任取x1≠x2，则A(x1，kx1＋b)，B(x2，kx2＋b)是直线 l上两个不同的点． 由直线斜率公式可知， l 的斜率为
如图，对照一次函数，y = kx＋b的图象，可以得到∶ 当斜率k >0，倾斜角α是锐角，直线从左到右上升，因变量增量 y2－y1 与自变量增量x2－x1同号，一次函数是增函数． 当斜率k < 0，倾斜角α是钝角，直线从左到右下降，因变量增量 y2－y1与自变量增量x2－x1异号，一次函数是减函数．
Expansin And Prmtin
解：（方法二）因为即kAB = kAC，所以A，B，C三点共线．
练习 判断A(－2，3)，B(3，2)，C(8，1)三点是否共线．
解：（方法一）可用向量是否共线进行判断．
思考：随着倾斜角大小变化，斜率如何变化？
我们先来观察当倾斜角取到这些特殊角的斜率：
斜率是关于倾斜角的正切函数（k = tanα）
当倾斜角α为零时，斜率k = 0；当倾斜角α为锐角时，斜率k > 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角α为钝角时，斜率k < 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大．
练习 判断下列说法是否正确（1）若两直线的倾斜角相等，则斜率相等；（2）若两直线的斜率相等 ，则倾斜角相等；（3）直线的倾斜角越大，则斜率越大；（4）若两直线的倾斜角相等，则这两直线平行或重合．
例 过点P(0，－2)的直线l与线段AB相交，若A(－2，3)，B(3，2)，求直线 l 的斜率 k 范围.
例 过点P(0，－2)的直线 l 与线段AB相交，若A(1，3)，B(3，2)，求直线 l 的斜率 k 范围.
求过定点的动直线斜率k的取值范围：（1）确定边界的斜率 k1，k2（k1 < k2）（注意能否取到）；（2）判断直线在旋转过程中是否出现垂直 x 轴的直线；（3）包含垂线取两边( k k2 )，不含垂线取中间( k1 < k < k2 )．
直线的倾斜角： 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．倾斜角的取值范围： 0 ≤ α < π．
斜率公式：经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，(x1≠x2)的直线的斜率为
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