2024-2025学年内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市高二上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市高二上册第一次月考数学检测试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线方程为，则此直线必不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（ ）
A. 若,,则
B. 若,,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
4. 若向量是空间中一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线经过点，且法向量，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 过定点
C. 若，则或D. 若，则
10. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. B.
C. 与为相交直线D. 在上的投影向量为
11. 如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（ ）
A. 球与该正方体的体积之比为
B. 球与该正方体的表面积之比为
C. 直线被球截得线段的长度为
D. 过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为__________.
13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线距离为__________.
14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求符合下列条件的直线方程：
（1）直线过点，且斜率为；
（2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍.
16. 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE．
（1）计算DE的长；
（2）求点O到平面ABC的距离．
17. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．

（1）求证：平面平面
（2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．
18. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．

（1）在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
（2）若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积.
2024-2025学年内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市高二上学期第一次
月考数学检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的方程为，则此直线必不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】A
【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得.
【详解】由可得，，
即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数，
故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.
故选：A.
2. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角.
【详解】依题意，直线经过点，
则直线的斜率为,
故直线的倾斜角为.
故选：D.
3. 设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（ ）
A. 若,,则
B. 若,,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
【正确答案】D
【分析】根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可.
【详解】选项A:,,只有当在同一平面内的时候,才有,故不正确;
选项B: ,,,则可相交、平行或异面,故不正确;
选项C:,,,则还可能是相交平面,故不正确;
选项D:两个平面垂直时,与它们垂直的两条直线一定是垂直的,所以若,,,则,正确.
故选:D.
4. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得.
【详解】由题意可得，
设，
即有
即可得，解得，即
即向量在基底下的斜坐标为.
故选：A.
5. 已知直线经过点，且法向量，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据直线的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：C
6. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7. 如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解.
【详解】建立空间直角坐标系如图，

则，，，，，
设，由，得，
所以，，，
所有，，
因为，，
所以，得.
故选：C.
8. 如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可.
【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系,
是左侧面上的一个动点, 设，其中
，，
又，
设，
设，，
在上单调递减，在上单调递增，且
又且在上单调递减，时取最大值 与的夹角的最大值为
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 过定点
C. 若，则或D. 若，则
【正确答案】ABD
【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.
【详解】由易知，故A正确；
由，故B正确；
若两直线平行，则有且，解得，故C错误；
若两直线垂直，则有，故D正确.
故选：ABD
10. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. B.
C. 与为相交直线D. 在上的投影向量为
【正确答案】AD
【分析】由空间向量的坐标运算判断线面的平行垂直关系，可判断A、B、C选项；利用投影向量的计算公式计算可判断D选项.
【详解】∵，∴，故A正确；
∵，∴或，故B错误；
设，则，此方程组无解，则与为相交直线或异面直线，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD
11. 如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（ ）
A. 球与该正方体的体积之比为
B. 球与该正方体的表面积之比为
C. 直线被球截得的线段的长度为
D. 过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为
【正确答案】BC
【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接，取中点，得到，求得到的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到过三点的正方体的截面恰好过球的球心，可判定D错误.
【详解】因为球与棱长为2的正方体的六个面都相切，
对于A中，可得正方体的体积为，
球的半径为，体积为，
球与该正方体的体积之比为，所以A不正确；
对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球与该正方体的表面积之比为，所以B正确；
对于C中，连接，可得，
再连接，直角中，可得，
取中点，连接，则，可得，
即点到的距离为，
所以直线被球截得的线段的长度为，
所以C正确；
对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
可得过三点的正方体的截面恰好过球的球心，
所以截面交线的周长为，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为__________.
【正确答案】或
【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.
【详解】因为，且，则，
所以直线斜率为，
又因为直线经过点，则直线的方程为，
所以直线的一般式方程为或.
故或.
13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________.
【正确答案】
【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，得到，
所以点到直线的距离为，
故答案为.
14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________
【正确答案】4
【分析】根据直线恒过定点求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足,
,即，
,
,当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求符合下列条件的直线方程：
（1）直线过点，且斜率为；
（2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍.
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可.
（2）分截距为0和不为0两种情况求解.
【小问1详解】
因为直线过点，且斜率为，
所以，化简可得.
【小问2详解】
当横、纵截距都是0时，设直线的方程为.
∵直线过点2,1，
∴，即直线的方程为.
当截距均不为0时，设直线的方程为.
∵直线过点2,1，
∴，解得，即直线方程.
综上，所求直线方程为或.
16. 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE．
（1）计算DE的长；
（2）求点O到平面ABC的距离．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；
（2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出．
【详解】（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，
，而且，所以，即，所以DE的长为．
（2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心，
的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为．
17. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．

（1）求证：平面平面
（2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见详解；
（2）.
【分析】（1）将问题转化为证明平面，利用已知，结合勾股定理即可得证；
（2）利用（1）中结论判断线面角，结合直角三角形性质将所求转化为即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
由题知，，，所以，
由余弦定理得，
所以，又，所以，
即，因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，
故直线EC与平面PAC所成角即为.
因为，所以，
所以，又因为E为PD的中点，所以，
所以，所以.
18. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．

（1）在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
（2）若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【正确答案】（1）存在，P是中点，证明见解析；
（2）．
【分析】（1）利用面面平行和线面平行确定点的位置，然后利用线面平行判定定理证明即可；
（2）过点D作，以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据面面夹角的向量公式求解可得.
【小问1详解】
存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，
因为平面，所以平面．
即存在线段的中点，满足题设条件．
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点P只有唯一一个．
所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面．
【小问2详解】
过点D作，垂足为F，又因为平面ABCD，

所以DA，DF，两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有即
令，得，，所以．
设平面的法向量为．
则有即
令，得，，所以．
所以．
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用题中的定义分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角向量求法计算即可；
（2）先计算平面法向量，找到平面上一点，然后利用点到面的距离的向量求法计算即可；
（3）先建立等式，然后画出所表示的每个面，计算所围成的立体图形的体积即可；
【小问1详解】
由题可知，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则有，
所以，直线与平面所成角的余弦值为.
【小问2详解】
由题可知平面的法向量为，且过点，
因为,所以，所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
建立空间直角坐标系，分别画平面，
然后得到几何体为
几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为