2024-2025学年山东省临沂市高二上册周测（四）数学检测试题

这是一份2024-2025学年山东省临沂市高二上册周测（四）数学检测试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．C．D．或
2．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
3．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A．B．或C．8或2D．8
5．设，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．4
6．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．1
7．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.）
9．在长方体中，为的中点，则（ ）
A．B．平面
C．点到直线的距离为D．点到平面的距离为
10．已知圆，则（ ）
A．圆与直线必有两个交点
B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8
11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线有4条对称轴B．的最小值是
C．曲线围成的图形面积为D．的最大值是1
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 .
13．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是 .
14．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点
(1)求证：四点共圆；
(2)若直线与所在圆相切，且直线在轴，轴的截距相等，求直线的方程．
16．（本题满分15分）如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，且．

(1)求证：平面ABC；
(2)若，求夹角的余弦值．
17．（本题满分15分）已知O为原点，直线与圆交于、两点．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，若点在圆上，求的取值范围；
(3)若，求圆的面积．
18．（本题满分17分）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
（本题满分17分）（17--20班做）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
临沂一中2023级高二上学期数学周测（四）答案及评分标准
[2, 4]
解：（1）假设三点共圆，设一般方程为，分
将代入其中，，
解得：，分
，，分
将代入其中得：，故到圆上，分
故四点在以2,3为圆心，为半径的圆上，即四点共圆；分
（2）若直线与圆相切且与，轴截距相等，
分3种情况讨论，如下图：
①当直线过原点斜率不存在时，不合题意，舍去；
②当直线经过原点，斜率存在，
设直线的方程为，则有，
解可得：，此时直线的方程为；分
③直线不经过原点，设直线的方程为，则有，解可得或，此时直线的方程为或；分
综合可得：直线的方程为或或．分
解：（1）证明：如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，
所以．分
又因为平面平面，平面，
平面平面，分
所以平面ABC．分
（2）由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．分
不妨设，由题可知，，，，．
分
由，可得．分
设平面的法向量为，
而，，则有,
取，得．分
设平面的法向量为，
而，，
则有，取，得．分
设平面与平面夹角为，
则，分
即平面与平面夹角的余弦值为．分
解：（1）圆的圆心为，半径，其中，
分
圆心到直线的距离，分
，解得，
所以的值为分
（2）由（2）知，圆圆心，半径，分
令，则，分
依题意，直线与圆有公共点，
，解得或，分
所以的取值范围是分
设，由消，分
，，分
由，得，分
又，即，
整理得，分
则，解得，满足，分
此时圆的半径，所以圆的面积为分
18．解：（1）证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知，分
则四边形和四边形是矩形，
∴在Rt和Rt，，分
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，分
∴是正三角形，分
由平面，得平面平面，
∵是的中点，，分
又平面，平面，可得，而，
∴平面，而平面．分
（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分
设，则，分
分
设平面的法向量为由，得，取，
设直线与平面所成角为，分
19.解：(I)由题意设椭圆的标准方程为分
则，从而分
(II)设，由得，分
则，分
分
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点则，分
即亦即，分
，解得，且满足分
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点分 综上可知，直线过定点，定点坐标为分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
C
C
D
B
A
BC
ACD
ACD