2024-2025学年陕西省咸阳市乾县高二上册第一次月考数学阶段检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市乾县高二上册第一次月考数学阶段检测试题（含解析），共24页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已如向量，，且与互相垂直，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. 3B. C. D.
6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A B. C. 3D.
7. 在中，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
8. 已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或者不选得0分．）
9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，互斥，则B. 若，则，相互独立
C. 若，互斥，则，相互独立D. 若，独立，则
10. 已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.
13. 方程的两根为，且，则____________.
14. 如图，在正方体中，，点分别为中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为．
（1）若，求的值；
（2）求面积的最大值．
16 已知空间三点.
（1）求
（2）求的面积；
17. 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．
（1）证明“三元不等式”： ．
（2）已知函数．
①解不等式；
②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．
18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）当时，求出所有“漂亮数”
2024-2025学年陕西省咸阳市乾县高二上学期第一次月考数学阶段
检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据指数幂运算求解.
【详解】对A：原式，所以A选项错误；
对B：原式，所以B选项错误；
对C：原式，所以C选项错误；
对D：显然，所以原式，所以D选项正确.
故选：D
2. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.
【详解】
如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，
所以，
所以.
故选：C
3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故选：B.
4. 已如向量，，且与互相垂直，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
计算，根据向量垂直得到答案.
【详解】，，则，
与互相垂直，则，.
故选：B.
本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.
5. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. 3B. C. D.
【正确答案】C
【分析】作出三棱锥的高，求出对应线段长，通过体积公式得出三棱锥体积.
【详解】如图，正三棱锥，，
取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，
由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，
∴平面
即三棱锥的高为，
∵，
∴，∴，
∴，
∴.
故选：C
6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 3D.
【正确答案】D
【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得.
【详解】因为，，，所以，，
则，，，所以，
又因为，所以，
则以，为邻边的平行四边形的面积.
故选：D
7. 在中，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【正确答案】C
【分析】根据题意可知，所以根据两角和正弦公式可求得，再根据正弦定理可求得.
【详解】根据三角形内角和为，所以可知，
则，
根据正弦定理可知，代入解之可得.
故选：C
8. 已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先由几何关系确定球心，再建立如图所示坐标系，然后分别求出及其模长，再代入向量的夹角公式，最后结合余弦函数的取值确定最小值即可.
【详解】设球的半径为，记正方形中心为，
因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面．
所以过点且的中点为球心，
设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
所以，，
所以，
所以，，
又，即．
所以，
当且仅当时等号成立，
设直线所成的角为，则，
又，所以．
故选：A．
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或者不选得0分．）
9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，互斥，则B. 若，则，相互独立
C. 若，互斥，则，相互独立D. 若，独立，则
【正确答案】ABD
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.
【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，
对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，
对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，
对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，
故选：ABD.
10. 已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AC
【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.
【详解】因为，，，
所以
所以，，
所以不共线.
故选：AC
11. 函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【分析】对A：，结合对数函数性质化简即可得；对B：，举出反例即可得；对C：，化简即可得；对D：，化简即可得.
【详解】对A：，，
，
由在0,+∞上单调递增，故其等价于，
化简可得，故满足题意，故A正确；
对B：，，，
取，，可得，，
又，故此时不满足题意，故B错误；
对C：，，，
化简得恒成立，不满足题意，故C错误；
对D：，，，
左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.
【正确答案】或
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故y=2x或．
13. 方程的两根为，且，则____________.
【正确答案】-3
【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.
【详解】∵方程的两根为，
∴，，
由题意得：；，
∵，∴，，故，
故-3.
14. 如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________.

【正确答案】 ①. ②. ##
【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解.
【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第一空：因为分别为的中点，所以，
因为，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以，即四点共面，
所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形，
因为正方体棱长为4，
所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为，
所以梯形的高为，
故所求截面面积为；
第二空：由题意，且，
所以，
在中，当时，，
所以表示经过点且法向量为的平面，
即点在平面上，
由以上分析可知，，
若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有，
由题意设，而，
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，
所以，令，解得，
所以可取，
显然平面的一个法向量可以是，
二面角的余弦值为.
故18，.
关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为．
（1）若，求的值；
（2）求面积的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；
（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．
【小问1详解】
由正弦定理，可得，
【小问2详解】
，，
由余弦定理可得，
，，
，，
当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值
16. 已知空间三点.
（1）求
（2）求的面积；
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求出向量坐标，再根据模长公式计算即可；
（2）先求出向量，的夹角，再利用三角形的面积公式即可求解；
小问1详解】
，
【小问2详解】
设向量，的夹角为，
由，
，，
，
又三角形中，
.
17. 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．
（1）证明“三元不等式”： ．
（2）已知函数．
①解不等式；
②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）见解析 （2）①；②.
分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明；
（2）①移项通分化整式不等式，解高次不等式即可得出答案；
②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以将题意转为在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
因为，
则
（当且仅当时取等），
所以（当且仅当时取等），
同理（当且仅当时取等），
（当且仅当时取等），
三式相加可得：，
又因为，
所以，
所以（当且仅当时取等）.
【小问2详解】
①由可得：，
所以，即，
即，则，
所以，
解得.
②因为当x∈0,+∞时，，
当且仅当，即时取等，
所以当x∈0,+∞时，，
对任意x∈0,+∞，恒成立，
则，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得.
【小问1详解】
如图，连接交于点，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，即点，
则三棱锥体积，解得，
所以，则，
设平面的法向量，
由，令，则，
即可得平面的一个法向量，
由轴平面，故为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值是．

19. 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）当时，求出所有的“漂亮数”.
【正确答案】（1）6 （2）
【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为6；
（2）先证明或，利用分类讨论的思想可得和，根据“漂亮数”的定义求出即可.
【小问1详解】
若是“漂亮数”，
设，满足，
则，所以，即，
故，得，则，所以，
此时，假设，则，又，
所以的全部可能取值为，
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.
所以，又，故6为“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是6；
【小问2详解】
若，设，满足，
则，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
故，所以，得.
故，则，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
综上，满足条件的全部为.
关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决对应的问