2024-2025学年重庆市南岸区高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市南岸区高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线，，则与距离为( )
A 1B. 2C. D.
3. 已知、，则以AB为直径圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线，，若，则实数（ ）
A. B. C. -1D. -2
5. 已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. 2D. 1
6. 已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目耍求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线BC的倾斜角不存在
B. 直线AB的斜率为-2
C. 边AB上的高所在直线的方程为
D. 边AB上的中线所在直线的方程为
10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线l与圆C相交B. 最小值为
C. 四边形面积的最小值为4D. 存在点，使得
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）
A. 若的周长为6，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为2b，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为_______.
13. 经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.
14. 已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为_______.
四、解答题：本西共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.
15. 已知点，直线.
（1）求点P到直线l的距离；
（2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标.
16. 已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切直线的方程.
17. 已知直线与椭圆相交于不同的两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，其中为坐标原点，求实数的值.
18. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为.
①证明：直线l过定点；
②求面积的最大值.
19. 如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与铀重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）.

（1）求圆的标准方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程；
（3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如图2，求折叠后的范围。
2024-2025学年重庆市南岸区高二上学期第一次月考数学学情
检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.
【详解】直线的斜率为，故倾斜角为.
故选：D.
2. 已知直线，，则与的距离为( )
A 1B. 2C. D.
【正确答案】D
【分析】利用两条平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题意得，与的距离.
故选：D.
3. 已知、，则以AB为直径的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】求出AB的中点和可得以AB为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.
【详解】已知、，则AB中点坐标为即.
，
所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为，展开可得，
整理得.
故选：B.
4. 已知直线，，若，则实数（ ）
A. B. C. -1D. -2
【正确答案】C
【分析】根据已知条件，结合两直线垂直的性质列出方程即可求解.
【详解】因为直线，
所以，
解得.
故选：C.
5. 已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. 2D. 1
【正确答案】D
【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案.
【详解】
，为一个焦点，设另一焦点为，
且，
因为，所以在椭圆外部，
所以，
即求的最小值，
由于，当三点共线时取到最小值，
此时，，
所以的最小值为1.
故选：D
6. 已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案.
【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，
所以，因为在椭圆上，
所以①，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.
故选：B
7. 已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由弦长公式可得，由此可通过求的最大值，确定弦长的最小值.
【详解】圆的圆心为O0,0，半径为，
因为点、在圆上，的中点为，
所以，其中，
即，
因为圆的圆心为，半径，点在圆上，
所以，故，
所以当时，AB取最小值，最小值为，
故选：B.
8. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率.
【详解】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，
解得.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目耍求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线BC的倾斜角不存在
B. 直线AB的斜率为-2
C. 边AB上的高所在直线的方程为
D. 边AB上的中线所在直线的方程为
【正确答案】BCD
【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项.
【详解】直线BC的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误；
直线AB的斜率为，B选项正确；
边AB上的高线与AB垂直，斜率，又高线过点C，
边AB上的高所在直线的方程为，即，C选项正确；
边AB上的中点坐标为0,3，则边AB上中线所在直线斜率为，
所以中线方程为，即，D选项正确.
故选：BCD.
10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线l与圆C相交B. 最小值为
C. 四边形面积的最小值为4D. 存在点，使得
【正确答案】BC
【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可.
【详解】圆的圆心，半径，连接，
对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点在圆上，则，B正确；
对于C，由切线长定理知，四边形面积：
，
当且仅当时取等号，因此四边形面积最小值为，C正确；
对于D，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，D错误.
故选：BC
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）
A. 若的周长为6，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为2b，则
【正确答案】ABD
【分析】利用焦点三角形的周长求得，可求判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得的范围判断D.
【详解】对于A,由椭圆，可得，
因为的周长为6，所以，解得，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，由，可得，
当时，由余弦定理可得
，
则，解得，
所以，
又的内切圆半径为，
所以，
所以，所以，解得（舍去）或，
所以，故B正确；
对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，
所以，所以，解得，
所以存在点，使得，则，故C错误；
对于D，设，
，
又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，
故时取最大值，所以，解得，故D正确.
故选：ABD.
结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为_______.
【正确答案】
【分析】根据长轴长求出，利用离心率求，根据求出，得到椭圆的标准方程.
【详解】设椭圆的标准方程为.
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
故
13. 经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】画出图形，利用斜率坐标公式，数形结合求出范围.
【详解】如图，直线的斜率，直线的斜率，而直线与线段总有公共点，
所以直线l斜率的取值范围为.
故
14. 已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为_______.
【正确答案】0
【分析】分别求出两种条件下动点P满足的轨迹方程，再结合图形即可求解.
【详解】因为|PA|+|PB|=10>AB=2，
所以动点P的轨迹为椭圆，且，则，
所以，
所以满足的动点P的轨迹方程为.
设Px,y，由，得，
整理得，即，
所以满足的动点P的轨迹在以0,2为圆心，以2为半径的圆上及圆的内部，且不过0,1点.
如图，动点P的两种轨迹没有交点，则动点P的轨迹不存在，因此点P的轨迹长度为0.
故0.
四、解答题：本西共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.
15. 已知点，直线.
（1）求点P到直线l的距离；
（2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由点到直线距离公式即可得解；
（2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解.
【小问1详解】
因为点，直线，
所以点P到直线l的距离为；
【小问2详解】
设点关于直线对称的点的坐标为，
则中点的坐标为，又直线的斜率为，
所以，解得，即.
16. 已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）设Px,y，由，得动点的轨迹方程；
（2）利用圆心到直线距离等于半径，求切线方程.
【小问1详解】
设Px,y，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
【小问2详解】
曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
17. 已知直线与椭圆相交于不同的两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，其中为坐标原点，求实数的值.
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消得到，利用，即可求解；
（2）设，根据违达定量，利用（1）结果，得到，进而有，根据题设有，即可求解.
【小问1详解】
由，消得到，
由题知，整理得到，解得或，
所以实数的取值范围为或.
【小问2详解】
设，
由（1），根据韦达定理得到，
所以，
又，所以，得到，
又，所以，
得到，整理得到，解得或，
所以实数的值为或.
18. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为.
①证明：直线l过定点；
②求面积的最大值.
【正确答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解；
（2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解.
【小问1详解】
依题意，设，则，
因为，所以，
则，解得，
因为圆上，
所以，则，即，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
①依题意，设直线的方程为，，
联立，消去，得，
则Δ=18bk2−49k2+49b2−36=1449k2+4−b2>0，即，
所以，
则
，
则，
则，
整理得，解得或（此时直线过点，舍去），
所以直线过定点；
②由①得，，
则，
所以，
令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，满足，
所以面积的最大值为.
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与铀重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）.

（1）求圆的标准方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程；
（3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如图2，求折叠后的范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列出方程求得的值，即可求得圆的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，求得的面积为，舍去；设直线的方程为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得弦长，进而求得到直线的距离为，根据题意列出方程，求得的值，即可求解；
（3）当直线的斜率不存在时，由为等腰直角三角形，求得；设直线的方程为，联立方程组，求得，过作轴过作轴，得到，化简得到，进而求得折叠后AB的范围.
【小问1详解】
解：由题意，设圆心，半径为
因为圆经过点和，可得，
即，解得，所以，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得，
此时的面积为，不符合题意，舍去；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即，
可得圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，
又由，设到直线的距离为，
所以的面积为，
整理得，解得或（舍去），
所以，所以直线的方程为.
综上可得，直线的方程为.
【小问3详解】
解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得，
此时为等腰直角三角形，可得；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得，且，
过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
则
，
因为，所以，所以，
综上可得，折叠后AB的范围.
方法策略：解答直线与圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆的性质或圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆或圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应