2024-2025学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知−2，x，y，z，−4成等比数列，则xyz=( )
A. ±16 2B. −16 2C. ±16D. −16
2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)到其渐近线的距离为12c，则该双曲线的离心率为( )
A. 2B. 2 2C. 2 33D. 2 3
3.“a=−5”是“直线l：x+ 3y+a=0被圆(x−1)2+(y−2 3)2=5截得的弦长为4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则S8等于( )
A. 44B. 48C. 64D. 108
5.如图的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在BBl上，点N在DD1上，且BM=12BB1,D1N=13D1D，若MN=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=( )
A. 17
B. 16
C. 23
D. 32
6.已知数列{an}，a1=2，a2=0，且an+2=an−2(n为奇数)an+2=an+2(n为偶数)，则数列{an}的前2023项之和为( )
A. 0B. 2C. 2024D. 4048
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，|OP|=|OF2|，且△POF1的面积为4，则实数b=( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
8.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x−c2)2+y2=b216相切于点Q，且PQ=3QF，则椭圆C的离心率等于( )
A. 23B. 12C. 22D. 53
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则( )
A. 若S4>S8，则S12S6，则S4>S5D. 若S3>S4，则S4>S5
10.下列结论正确的是( )
A. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)
B. 直线 3x+y+1=0的倾斜角为120°
C. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离都等于1
D. 与圆(x−2)2+y2=2相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条
11.已知椭圆C：x26+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P(1,1)为线段MN的中点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆C的离心率为 63B. △PF1F2的面积为1
C. 直线l的方程为x+3y−4=0D. |MN|=2 103
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+a，等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+b(其中a，b为实数)则a+b的值为______．
13.已知抛物线C：y= 28x2的焦点为F，O为坐标原点，P为抛物线C上一点，且满足|PF|=3 2，则△POF的面积为______．
14.已知数列{an}满足a1=12，an+1−an=2n，则ann的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l1：4x−3y+10=0与l2垂直，且l2经过点(1,1)．
(1)求l2的方程；
(2)若l2与圆C：x2+(y−112)2=25相交于A，B两点，求|AB|．
16.(本小题12分)
已知{an}为等差数列，{bn}是公比为正数的等比数列，a1=b1=2，a2=2b1−1，b3=2a2+2．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an⋅bn}的前n项和．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，BC⊥PA．
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若AB=BC=PA=2，D是线段PB上的一点，若直线PC与平面ACD所成角的正弦值为 1010，求PD的长．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的长轴长为4，短轴长与焦距相等．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，P(−23,0)，是否存在实数k，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和Sn=13(1−an)(n∈N∗).若2+bn=3lg14an，且数列{cn}满足cn=an⋅bn．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求证：数列{cn}的前n项和Tn0，
则由题意有2+d=3，2q2=2(2+d)+2，解得d=1，q=2，
所以{an}和{bn}的通项公式分别为an=2+(n−1)=n+1,bn=2⋅2n−1=2n,(n∈N∗)；
(2)设数列{an⋅bn}的前n项和为Sn，
由(1)可得an⋅bn=(n+1)⋅2n,(n∈N∗)，
所以Sn=2⋅21+3⋅22+⋯+(n+1)⋅2n，
2Sn=2⋅22+3⋅23+⋯+(n+1)⋅2n+1，
两式相减得−Sn=2⋅21+22+⋯+2n−(n+1)2n+1=4+4×(1−2n−1)1−2−(n+1)2n+1=−n⋅2n+1，
所以数列{an⋅bn}的前n项和为Sn=n⋅2n+1,(n∈N∗)．
17.(1)证明：取AB的中点O，连接PO，如图所示，

因为PA=PB，O是AB的中点，所以PO⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，
又BC⊥PA，PA∩PO=P，PA，PO⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC；
(2)解：设AC的中点为E，则OE/​/BC，又AB⊥BC，所以OE⊥AB，
以O为坐标原点，以OE，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则P(0,0, 3)，A(0,−1,0)，C(2,1,0)，B(0,1,0)，
设BD=λBP(0≤λ≤1)，则AD=AB+BD=(0,2,0)+λ(0,−1, 3)=(0,2−λ, 3λ)，
CD=CB+BD=(−2,0,0)+λ(0,−1, 3)=(−2,−λ, 3λ)，
设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AD=(2−λ)y+ 3λz=0n⋅CD=−2x−λy+ 3λz=0，令z=2−λ，解得y=− 3λ，x= 3λ，
所以平面ACD的一个法向量为n=( 3λ,− 3λ,2−λ)，
又CP=(−2,−1, 3)，
所以|cs|=|n⋅CP||n|⋅|CP|=2 3|1−λ| 8⋅ 3λ2+3λ2+(2−λ)2= 1010，
解得λ=12或λ=114(舍去)，所以PD=1．
18.解：(1)由题意可得：2a=4，2b=2c，a2=b2+c2，
联立解得a=2，b=c= 2，
∴椭圆C的标准方程为：x24+y22=1，离心率e=ca= 22．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)，
联立y=kx+2x24+y22=1，化为：(1+2k2)x2+8kx+4=0，(k≠0)，
Δ=64k2−16(1+2k2)>0，化为k2>12．
x1+x2=−8k1+2k2，x1x2=41+2k2，
∴x0=12(x1+x2)=−4k1+2k2，y0=kx0+2=21+2k2，
∴线段AB的垂直平分线方程为：y−21+2k2=−1k(x+4k1+2k2)，
把P(−23,0)代入可得：−21+2k2=−1k(−23+4k1+2k2)，化为：2k2−3k+1=0，
解得k=1或k=12，
∵k2>12，∴k=12不符合题意，舍去．
∴k=1．
∴存在实数k=1，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形，
直线的方程为y−23=−(x+43)，化为：3x+3y+2=0．
19.解：(1)证明：由题意知Sn=13−13an，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=13an−1−13an，所以an=14an−1．
当n=1时，S1=13−13a1=a1，所以a1=14，
所以数列{an}是以14为首项，14为公比的等比数列，
则an=14n，
因为2+bn=3lg14an，所以bn=3lg14an−2=3lg14(14)n−2=3n−2，
所以b1=1，令bn=b1+(n−1)d，可得d=3，
所以数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)证明：由(1)知cn=an⋅bn=(14)n×(3n−2)，
所以Tn=c1+c2+⋯+cn=14×1+(14)2×4+⋯+(14)n−1×(3n−5)+(14)n×(3n−2)，
所以14Tn=(14)2×1+(14)3×4+⋯+(14)n×(3n−5)+(14)n+1×(3n−2)，
两式相减，可得34Tn=14×1+(14)2×3+(14)3×3+⋯+(14)n×3−(14)n+1×(3n−2)
=14+3×(14)2[1−(14)n−1]1−14−(14)n+1×(3n−2)=12−14n−3n−24n+1，
所以Tn=23−3n+23×(14)n，所以Tnc3>c4>…cn，所以数列{cn}的最大项为c1和c2，且c1=c2=14．
所以14≤14(t2+t−1)，即t2+t−2≥0，
解得t≥1或t≤−2，即实数t的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．