2024-2025学年安徽省安庆一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省安庆一中高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间中三点A(−1,0,1)，B(−1,2,2)，C(−3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3 B. AB//AC C. |BC|=12 D. cs⟨AB,AC⟩=365
2.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k)，若l⊥α，则实数k=( )
A. 2B. −10C. −2D. 10
3.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
4.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2 2，PB⊥平面ABC，点M，N分别AC，PB的中点，MN= 6，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 3434，则|BQ||BA|为( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
5.过P(0,2)点作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y−14=0距离的最小值为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n，且数列{an}的前n项和Sn.若Sn≥λ，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. (−∞,2]D. (−∞,−1]
7.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若椭圆离心率e1= 22，则双曲线C2的离心率e2=( )
A. 72B. 62C. 2D. 3
8.数列{an}满足a1=0，a2=1，an=2+an−2,n≥3,n为奇数2an−2,n≥3,n为偶数，则数列{an}的前10项和为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 若A，B，C三点不共线，面ABC外的任一点O，有OM=13OA+13OB+13OC，则M，A，B，C四点共面
B. 有两个不同的平面α，β的法向量分别为u,v，且u=(1,2,−2)，v=(−2,−4,−4)，则α//β
C. 已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若=2π3，则l与α所成角为π6
D. 已知向量a=(1,1,x)，b=(−3,x,9)，若x0)有共同的右焦点F，记曲线Ω为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若M，N分别在曲线Ω中的双曲线和椭圆上，则△MNF周长的最小值等于______．
14.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0,−3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.设该直线的斜率为k，若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则k2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3，PA=3，PB=PC=2，M是PD的中点．
(1)若BD=mPA+nPB+pPC，求m+n+p的值；
(2)求线段BM的长．
16.(本小题15分)
已知圆C的圆心在直线y=12x，且过圆C上一点M(1,3)的切线方程为y=3x．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点M的直线l与圆交于另一点N，求S△CMN的最大值及此时的直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=1，PA=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC，点Q在棱CP上(不与点C，P重合)．
(1)求证：平面DEQ⊥平面PAC．
(2)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．
(3)直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出CQCP的值；若不能，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知点A( 2,1)是离心率为 22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为 22的直线l交椭圆C于M，N两点，求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知数列A：a1，a2，⋯，a2m为2m个数1，2，⋯，2m的一个排列，其中m∈N∗，且m≥3．
若在集合{1,2,⋯,2m−1}中至少有一个元素i使得|ai−ai+1|=m，则称数列A具有性质P．
(Ⅰ)当m=3时，判断数列B：1，5，3，4，6，2和数列C：6，5，2，4，1，3是否具有性质P；
(Ⅱ)若数列{a2n−1}和{a2n}(n=1,2,⋯,m)均为等差数列，且a1=1，a2m=2，证明：对于所有的偶数m，数列A：a1，a2，⋯，a2m不具有性质P；
(Ⅲ)在所有由1，2，⋯，2m的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m(m≥3)，S>T．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.A
5.C
6.B
7.B
8.D
9.AC
10.AD
11.AC
12.5
13.2
14.421
15.解：(1)∵BD=BA+BC=(PA−PB)+(PC−PB)=PA−2PB+PC，
∴m+n+p=1−2+1=0；
(2)∵BM=PM−PB=12PD−PB=12(PC+CD)−PB=12(PC+PA−PB)−PB=12(PC+PA)−32PB，
∴BM2=[12(PC+PA)−32PB]2=14(PC2+PA2+2PC⋅PA)−32PB⋅PC−32PA⋅PB+94PB2
=14(4+9+2×2×3×csπ3)−32×2×2×csπ3−32×3×2×csπ3+9=194−3−92+9=254，
即有|BM|2=BM2=254，
∴BM=52．
16.解：(1)由题意，过M点的直径所在直线方程为y−3=−13(x−1)，
即x+3y−10=0．
联立x+3y−10=0y=12x，解得x=4y=2，∴圆心坐标为(4,2)．
半径r2=(4−1)2+(2−3)2=10，
∴圆C的方程为(x−4)2+(y−2)2=10；
(2)M(1,3)，要使S△CMN最大，则N点满足CN所在直线与CM所在直线垂直，
此时S△CMN的最大值为S=12× 10× 10×sin90°=5；
∵kCM=2−34−1=−13，∴CN所在直线方程为y−2=3(x−4)，即y=3x−10，
联立y=3x−10(x−4)2+(y−2)2=10，得x=3y=−1或x=5y=5，
即N的坐标为(3,−1)或(5,5)，
当N(3,−1)时，MN的方程为y+13+1=x−31−3，即2x+y−5=0；
当N(5,5)时，MN的方程为y−35−3=x−15−1，即x−2y+5=0．
综上，MN所在直线方程为2x+y−5=0或x−2y+5=0．
17.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB⊥AD，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，E(1,12,0)，D(0,1,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，
所以DE=(1,−12,0)，AC=(1,2,0)，AP=(0,0,2)，
所以DE⋅AP=0，DE⋅AC=1−1=0，
所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，
所以DE⊥平面PAC，DE⊂平面DEQ，
所以平面DEQ⊥平面PAC．

(2)由(1)知DE=(1,−12,0)是平面PAC的一个法向量，PD=(0,1,−2)，PC=(1,2,−2)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则PD⊥nPC⊥n，所以PD⋅n=0PC⋅n=0，即y−2z=0x+2y−2z=0，
令z=−1，则x=2，y=−2，所以n=(2,−2,−1)，
所以cs〈DE,n〉=DE⋅n|DE|×|n|=2+1 54× 9=2 55，
又由图可知二面角A−PC−D的平面角为锐角，
所以二面角A−PC−D的平面角的余弦值为2 55．
(3)由(1)得C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(1,12,0)，CP=(−1,−2,2)，
设CQCP=λ(0