2024-2025学年安徽省马鞍山市红星中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省马鞍山市红星中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线l⊥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论可能正确的是( )
A. s=(1,0,1)，n=(1,0,−1)B. s=(1,1,1)，n=(1,1,−2)
C. s=(2,1,1)，n=(−4,−2,−2)D. s=(1,3,1)，n=(2,0,−1)
2.已知公差不为零的等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，a1，a3，a6成等比数列，则等差数列{an}的前8项和S8为( )
A. 20B. 30C. 35D. 40
3.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
4.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2 2，PB⊥平面ABC，点M，N分别AC，PB的中点，MN= 6，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 3434，则|BQ||BA|为( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
5.从点P(2,−5)射出的一束光线在y轴上反射后与圆C：x2+y2+2x−4y=0相切，则反射光线所在直线的方程为( )
A. 11x+2y+32=0B. 2x−y−1=0
C. x−y−2=0D. 2x−y−2=0
6.圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−3=0，x2+y2−4y−3=0的交点的圆的方程为( )
A. x2+y2−6x+2y−3=0B. x2+y2+6x+2y−3=0
C. x2+y2−6x−2y−3=0D. x2+y2+6x−2y−3=0
7.已知F1，F2是双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，椭圆C2与双曲线C1的焦点相同，C1与C2在第一象限的交点为P，若PF1的中点在双曲线C1的渐近线上，且PF1⊥PF2，则椭圆的离心率是( )
A. 12B. 32C. 53D. 55
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N∗)，在等差数列{bn}中，b2=5，且公差d=2.使得a1b1+a2b2+…+anbn>60n成立的最小正整数n为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线y=ax−2a+4(a∈R)必过定点(2,4)
B. 截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示
C. 直线y=− 33x+1的倾斜角为120°
D. 过点(−2,3)且垂直于直线y=12x+32的直线方程为2x+y+1=0
10.已知曲线C：x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若mb>0)的左右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，离心率e= 22，直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若l不过O点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：若无穷数列{an}满足{an+1−an}是公比为q的等比数列，则称数列{an}为“M(q)数列”.设数列{bn}中b1=1，b3=7．
(1)若b2=4，且数列{bn}是“M(q)数列”，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn+1=2Sn−12n+λ，请判断数列{bn}是否为“M(q)数列”，并说明理由；
(3)若数列{bn}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n使得40392019m2，
由韦达定理有x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−21+2k2，
所以y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=−4k2m1+2k2+2m=2m1+2k2，
所以线段AB的中点M的坐标为(x1+x22,y1+y22)，即(−2km1+2k2,m1+2k2)，
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为kOM⋅k=yM−0xM−0⋅k=m1+2k2−2km1+2k2⋅k≡−12，
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(3)由(2)可知，(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
其中a=1+2k2,x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−21+2k2,Δ=8(1+2k2−m2)>0，
又直线l：y=kx+m，(k≠0)上有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2⋅2m2−21+2k2−km⋅4km1+2k2+m2=m2−2k21+2k2，
若OA⊥OB，则OA⋅OB=x1x2+y1y2=0，即x1x2+y1y2=2m2−21+2k2+m2−2k21+2k2=0，
所以3m2=2(k2+1),m2=2(k2+1)3，此时Δ=8(1+2k2−m2)=8(4k2+1)3>0，
则原点O到AB的距离为|OC|=d=|m| 1+k2，
又|AB|= (x1−x2)2+(y1−y2)2= 1+k2⋅|x1−x2|
= 1+k2⋅|−b− Δ2a−−b+ Δ2a|= 1+k2⋅ Δ|a|，
所以S△AOB=12|AB|⋅|OC|=12⋅ 1+k2⋅ Δ|a|⋅|m| 1+k2=|m| Δ2|a|
= 2(k2+1)3× 8(4k2+1)32(2k2+1)=2 (k2+1)(4k2+1)3(2k2+1)
=2 (k2+1)(4k2+1)(4k2+1)+2(k2+1)=2 4k2+1k2+1+2 k2+14k2+1，
不妨设t= 4k2+1k2+1= 4−3k2+1,k≠0，
因为k2>0，所以k2+1>1,3k2+11,1