2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设x∈R，向量a=(1,x,1)，b=(2,−4,2)，a/​/b，则x=( )
A. −4B. −3C. −2D. −1
2.直线3x+4y+m=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则m的值是( )
A. −2或12B. 2或−12C. −2或−12D. 2或12
3.如图，在直角三角形OAB中，A=π2，边OA所在直线的倾斜角为π6，则直线AB的斜率为( )
A. − 3
B. − 33
C. −1
D. 1
4.点P(3,0)关于直线l：2x−y−1=0的对称点Q的坐标是( )
A. (−2,−3)B. (−1,2)C. (−1,−3)D. (1,0)
5.m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m//α，n//β，α//β，则m//n
B. 若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n
C. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
D. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β
6.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，M为侧棱PC上的点，且PM=2MC，若BM=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=( )
A. −53
B. −23
C. 23
D. 53
7.设椭圆C的焦点为F1，F2，离心率为e，则“e∈(12,1)”是“C上存在一点P，使得PF1⋅PF20)的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于点A，l是E在点A处的切线.点B是E上异于A的任意一点，过B且垂直于x轴的直线交x轴于点M，交l于点C，则|CM||BF|=( )
A. 34B. 1C. 32D. 不确定
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.双曲线x29−y24=1的离心率为______，渐近线方程为______．
12.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=π2,AC=BC=CC1，点D是A1C的中点，则BD与AA1所成角的余弦值为______．
13.已知抛物线C的焦点为F(0,1)，则C的标准方程为______；设点Q(2,3)，点P在C上，则|PF|+|PQ|的最小值为______．
14.在△ABC中，a=4，c−b=2，则∠B的一个取值可以为______．
15.曲线C是平面内到原点O的距离与到直线x=1的距离的乘积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线C过点(0,1)；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C存在渐近线；
④曲线C与被x轴截得的弦长大于 5．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2+4x−12y+24=0，过点M(−4,0)作斜率为1的直线l交圆C于A，B两点．
(Ⅰ)写出圆C的标准方程，圆心坐标和半径；
(Ⅱ)求线段AB的中垂线方程；
(Ⅲ)求|AB|．
17.(本小题12分)
已知六面体ABCDEF的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AF//DE且DE=2AF=4．
(Ⅰ)求证：BF//平面DEC；
(Ⅱ)若DE⊥平面ABCD，求直线BF与平面BEC夹角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，上顶点为A(0,1).过A的直线l与E的另一个交点为B．
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)若|AB|=43 2．
(i)求l的方程；
(ii)求△OAB的面积．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，点E为线段PD的中点，点F为线段PC(不含端点)上的动点．
(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面PCD；
(Ⅱ)若存在点F，使得平面PAC与平面AFE的夹角为π4，求PFPC的值．
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求四面体P−AEF的体积．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(−1, 32)，且a=2b．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)设椭圆C的左焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点.是否存在点T(t,0)，使得∠PTF=∠QTF恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
在平面内，有m个椭圆和n条抛物线(m,n∈N∗)，任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点.设所有公共点个数为V.这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段(或曲射线)，上述图形将平面分割为S个互不连通的区域.如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时S=4.已知对于任意m，n∈N∗，V+S−L=1成立．
(Ⅰ)当m=n=1时，直接写出S的最大值及此时V和L的值；
(Ⅱ)当m=n=2时，是否存在V，使得S=25？若存在，求出V的值；若不存在，说明理由；
(Ⅲ)对于给定的m，n∈N∗，设所有S的最大值为S(m,n).当S(m,n)=221+n时，试求出m+n的值．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.B
8.B
9.D
10.B
11. 133 y=±23x
12. 66
13.x2=4y 4
14.π4(答案不唯一)
15.②③④
16.解：(Ⅰ)圆C：x2+y2+4x−12y+24=0，可得圆C的标准方程为(x+2)2+(y−6)2=16，圆心为(−2,6)，半径r=4；
(Ⅱ)因为直线l的斜率为1，
所以线段AB的中垂线m的斜率为−1，
又因为m过圆心(−2,6)，
所以m方程为y−6=−1(x+2)，
即线段AB的中垂线方程为x+y−4=0；
(Ⅲ)直线l的方程为x−y+4=0，
圆心(−2,6)到直线l的距离为：d=|−2−6+4| 1+1=2 2，
所以|AB|2= r2−d2= 42−(2 2)2=2 2．
所以|AB|=4 2．
17.解：(Ⅰ)证明：取DE中点M，连接MF，MC．
因为AF/​/DE且DE=2AF=4，
所以AF/​/DM，AF=DM，
所以四边形ADMF是平行四边形，
所以MF/​/AD，MF=AD，
因为四边形ABCD是矩形，
所以BC/​/AD，BC=AD，
所以BC//MF，BC=MF，
所以四边形BCMF是平行四边形，所以BF//CM，
因为BF⊄平面DEC，CM⊂平面DEC，
所以BF/​/平面DEC；
(Ⅱ)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，
因为四边形ABCD是矩形，所以DA⊥DC，
以D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(3,4,0)，F(3,0,2)，E(0,0,4)，C(0,4,0)，
所以BF=(0,−4,2)，BE=(−3,−4,4),BC=(−3,0,0)，EC=(0,4,−4)，
设平面BEC一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥ECn⊥BC，有n⋅EC=0n⋅BC=0⇒4y−4z=0−3x=0，
令y=1，则x=0，z=1，即n=(0,1,1)，
设直线BF与平面BEC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|BF⋅n|BF|⋅|n||=|−2 20⋅ 2|= 1010．
18.解：(Ⅰ)因为椭圆E的离心率为 22，上顶点为A(0,1)，
所以ca= 22b=1a2=b2+c2，
解得a= 2，b=1，
则椭圆E的方程为x22+y2=1；
(Ⅱ)(i)若直线l的斜率不存在，
此时|AB|=2≠4 23，不符合题意；
若直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+1，B(x0,y0)，
联立y=kx+1x2+2y2=2，消去y并整理得(1+2k2)x2+4kx=0，
此时Δ=16k2>0，
所以k≠0，
由韦达定理得x0=−4k1+2k2，
所以|AB|= 1+k2⋅|0−x0|= 1+k2⋅|4k2k2+1|=4 23，
整理得k4+k2−2=0，
解得k2=1或−2(舍去)，
所以k2=1，
则k=1或k=−1，
此时均满足Δ>0，
所以直线l方程为y=x+1或y=−x+1；
(ii)由(i)知B(±43,−13)．
则S△OAB=12⋅|OA|⋅|xB|=12×1×43=23．
19.解：(Ⅰ)证明：因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，
因为PA=PD，且E为PD的中点，所以AE⊥PD，
又因为CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD，
又因为AE⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PCD．
(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，
因为四边形ABCD是正方形形，所以AD⊥AB，
以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，
则AE=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，PC=(2,2,−2)，
设PF=λPC(0