2024-2025学年北京市平谷区高二上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市平谷区高二上学期期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线过点A1,0,B0,− 3，则直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. π4D. 2π3
2.圆心为−1,2且过原点的圆的方程是( )
A. x−12+y−22=5B. x+12+y−22=5
C. x+12+y+22=5D. x−12+y+22=5
3.以0,2为焦点的抛物线标准方程是( )
A. y2=4xB. y2=8xC. x2=4yD. x2=8y
4.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2, AB=2 2，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为( )
A. 30 ∘B. 45 ∘C. 60 ∘D. 90 ∘
5.某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为13，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是( )
A. 427B. 1927C. 49D. 89
6.已知α,β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知椭圆x22+y2=1上一点A和焦点F．AF⊥x轴，若双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线经过点A，那么双曲线的离心率e为( )
A. 2 3B. 12C. 62D. 32
8.某学校对男生的立定跳远和50米跑两个单项进行体育达标测试.下表为10名学生的测试成绩，其中有三名同学成绩模糊．
已知在这10名学生中，立定跳远有8人优秀，立定跳远和50米跑同时优秀的有6人，则( )
A. 8号学生进入50米跑优秀B. 1号学生进入50米跑优秀
C. 4号学生进入50米跑优秀D. 10号学生进入50米跑优秀
9.已知圆x−22+y+12=9，直线x+y+m=0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则m可以是( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是BC、AA1上的中点，P是A1C1上的动点.下列结论错误的是( )
A. 存在点P，使得EP//平面AA1B1B
B. DB1⊥EP
C. 平面A1C1E截正方体所得截面为等腰梯形
D. 平面B1FC1⊥平面A1C1E
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
11.双曲线C:x24−y25=1的焦点到顶点的最小距离是 ．
12.经过点P1, 0，且与直线l:y=2x−1平行的直线方程是 ．
13.抛物线y2=2pxp>0上一点M到焦点F1,0的距离等于3，则点M的坐标为 ．
14.将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为 ．
15.已知圆锥曲线x22+y2m=1的离心率为 52，则实数m= ．
16.某玩具模型设计图为一个六面几何体，如图所示，▵ABC、▵BCE和▵BCD均为等边三角形，测得AB=4cm，AE=AD=DE=6cm，则这个玩具模型的体积是__ ___cm3．
17.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线C:4−x= 4−y2.下面是关于曲线C的四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②曲线C上点的横坐标取值范围是−4, 4
③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；
④若直线y=kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是−∞, − 33∪ 33, +∞
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
已知直线l:x+ 3y−1=0与圆C:x2+y2−2x+4y−1=0相交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)求线段AB的垂直平分线方程．
19.(本小题12分)
已知等腰直角三角形ABC，如图(1)，AB=AC=2，AD为斜边上的高.以AD为折痕将三角形ABD折起，使得∠BDC为直角，E为BC中点.如图(2)．
(1)求证：平面ABD⊥平面BDC；
(2)求直线AE与平面BDC所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
某学校为提升学生的体质水平，要求所有学生在一学期内完成规定的运动任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其运动打卡成绩的频率分布直方图及相应过程性积分数据，整理如下：
(1)求a的值，并估计从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率；
(2)在抽取的100名学生中，采取分层抽样的方法从运动打卡成绩在0, 200和200, 400内抽取5人，再从这5名学生中随机选取2人，求这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率；
(3)从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动打卡成绩记为Y1，上述100名学生运动打卡成绩的平均值记为Y2.若根据图表信息是否能推断Y1≤Y2恒成立？(直接写出结论)
21.(本小题12分)
如图，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=3，AB//DC，DC=2AB=2BC=4，AB⊥BC，E为PD中点．
(1)求证：AE//平面PBC；
(2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知点P2,1和椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，AB= 5，离心率e= 32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q为椭圆C上一点(Q不与椭圆C的顶点重合)，直线QB交x轴于点M，直线PM交直线AB于点N，证明：直线QN经过右顶点．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D
10.B
11.1
12.2x−y−2=0
13.2,±2 2
14.23
15.−12
/−0.5
16.12 3
17.①③④
18.(1)圆C:x2+y2−2x+4y−1=0，配方可得(x−1)2+(y+2)2=6，所以圆心C(1,−2)，半径r= 6．
求圆心C到直线l的距离d：
根据点到直线的距离公式，d=|1×1+ 3×(−2)−1| 12+( 3)2=|1−2 3−1|2= 3．
根据弦长公式|AB|=2 r2−d2，把r= 6，d= 3代入可得|AB|=2 ( 6)2−( 3)2=2 6−3=2 3．
(2)直线l:x+ 3y−1=0，可化为y=−1 3x+1 3，其斜率kAB=−1 3=− 33．
求线段AB垂直平分线的斜率：
因为垂直的两条直线斜率乘积为−1，所以线段AB垂直平分线的斜率k= 3．
线段AB的垂直平分线过圆心C(1,−2)，由点斜式y−y1=k(x−x1)((x1,y1)为直线上一点，k为直线斜率)可得垂直平分线方程为y−(−2)= 3(x−1)，即 3x−y− 3−2=0．

19.(1)在图(1)中，因AD⊥BC，折起后，AD⊥DB,AD⊥DC，
因DB∩DC=D，则AD⊥平面BDC，
又AD⊂平面ADB，故平面ABD⊥平面BDC．
(2)由(1)已得，AD⊥平面BDC，连接DE，则DE即AE在平面BDC上的射影，
故∠AED即直线AE与平面BDC所成角．
在图(1)中，AD=12BC=12×2 2= 2，
在图(2)中，BD=DC,∠BDC=Rt∠，则DE=12BC=12×2=1，
在Rt▵ADE中，AE= ( 2)2+12= 3，故sin∠AED= 2 3= 63，
即直线AE与平面BDC所成角的正弦值为 63．

20.(1)由图可知，200(0.00025+0.0005+0.001+a+0.00175)=1，
解得a=0.0015；
所以组[600,800],[800,1000]对应的频率为0.3,0.1，对应的人数为30,10，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率为30+10100=25．
(2)由题意知，成绩在[0,200)和[200,400)的人数分别为5和20，比例为1:4，
从这两组按分层抽样的方法抽取5人，
则从组[0,200)内抽得1人，从组[200,400)内抽得4人，
从这5名学生中随机选取2人，这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率为
P=C11C41C52=25．
所以从这5名学生中随机选取2人，这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率为25．
(3)从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动成绩记为Y1，
又运动过程性积分为2的成绩对应的组是200,400，则Y1的最大值为5×200+20×40025=360，
100名学生运动成绩的平均值记为Y2，
则Y2的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
即(Y2)min=1100[800×10+600×30+400×35+200×20+0×5]=1160，
所以(Y2)min≥360，
所以根据表中信息能推断Y1≤Y2恒成立．

21.(1)取PC的中点为F，连接BF,EF，
由E为PD中点可得：EF//CD,EF=12CD，
又AB//DC，DC=2AB，
所以EF//AB,EF=AB，
所以四边形EFBA为平行四边形，
所以AE//BF，又BF在平面PBC内，AE在平面PBC外，
所以AE//平面PBC；
(2)取AB的中点为O，PA=PB=3，知PO⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，又平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，
所以PO⊥平面ABCD，过点O作BC的平行线交CD与点G，
易知PO,OG,OB两两垂直，如图建系：
因为PA=PB=3，DC=2AB=2BC=4，
可得PO=2 2，
则A0,−1,0,B0,1,0,P0,0,2 2,D2,−3,0，
所以E1,−32, 2，
则AE=1,−12, 2,BE=1,−52, 2，
设平面ABE的法向量为n=x,y,z，
可得：AE⋅n=0BE⋅n=0，即
令x=1，可得y=0,z=− 22，
所以n=1,0,− 22，
易知平面PAB的法向量为1,0,0，
所以平面ABE与平面PAB所成角的余弦值csθ=1 1+12×1= 63，
由图可知所求二面角为锐角，
故平面ABE与平面PAB所成角的余弦值为 63．

22.(1)因为AB= 5，e= 32，所以a2+b2=5ca= 32a2=b2+c2，解得a=2b=1c= 3,
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
(2)
设Qx0,y0x0≠±2,y0≠0，又因为B0,1，所以直线QB的方程为y=y0−1x0x+1，
令y=0，得x=−x0y0−1，所以M−x0y0−1,0，
又因为P2,1，所以直线PM的方程为y=y0−1x0+2y0−2x+x0x0+2y0−2，
因为A−2,0,B0,1，则直线AB的方程为y=12x+1，
联立y=y0−1x0+2y0−2x+x0x0+2y0−2y=12x+1，解得x=4−4y0x0y=x0−2y0+2x0，所以N4−4y0x0,x0−2y0+2x0，
因为Qx0,y0,N4−4y0x0,x0−2y0+2x0，所以直线QN的方程为y−y0=x0y0−x0+2y0−2x02+4y0−4x−x0即y=x0y0−x0+2y0−2x02+4y0−4x+4y02−4y0−2x0y0+x02+2x0x02+4y0−4，
当x=2时，y=x02+4y02−4x02+4y0−4∗，
因为点Qx0,y0在椭圆上，所以x02+4y02=4，代入∗式得y=0，
所以点2,0在直线QN上，即直线QN经过右顶点．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
2.56
2.52
2.48
2.48
2.46
2.45
2.44
2.42
2.38
2.35
50米跑(单位：秒)
7.48
a
7.43
7.71
7.34
7.42
8.03
b
c
7.69
运动打卡成绩x(km)
运动过程性积分
800≤x≤1000
5
600≤x