2024-2025学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过两点P1,2,Q4,3，那么直线l的斜率为( )
A. −3B. −13C. 13D. 3
2.双曲线x216−y29=1的离心率为( )
A. 34B. 43C. 54D. 6
3.已知椭圆x26+y22=1的一个焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，则p等于( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5)，B(1,1,2)，C(0,a,b)，若A,B,C三点共线，则a+b的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
5.2x−1x5的展开式中x的系数为( )
A. −80B. −40C. 40D. 80
6.正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为( )
A. 13B. 12C. 22D. 33
7.从数字1,2,3,4中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
8.已知直线l:y=kx−1，“k=23或k=−23”是“直线l与双曲线x29−y24=1有且仅有一个公共点”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，若点P为圆C:x2+y2=1上的动点，则|AB+AP|的最大值为( )
A. 3B. 13C. 5D. 2 2+1
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P在面ABCD及其边界上运动，D1A,D1P=π4，则动点P的轨迹为( )
A. 椭圆的一部分B. 线段C. 圆的一部分D. 抛物线的一部分
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知直线ax−y−3=0与2x+y=0垂直，那么a= ．
12.已知(3x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4= ．
13.某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，AB//CD，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 _cm．
14.已知曲线y=|x−1|与x轴交点为D，与抛物线C:y2=4x交于A、B两点，则∠ADB= ，▵ABD的面积为 ．
15.已知M=(x,y)|y=t(x−1)2+2x+2,0≤t≤1,1≤x≤2是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为Q，给出下列四个结论：
①(2,10)∈M；
②设点A∈M，则直线OA的斜率的最大值为4；
③∀A,B∈M，|AB|≤ 10；
④Q的面积小于12．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了5种不同的荤菜和n种不同的素菜．
(1)当n=4时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？
(2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求n的最小值．
17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，AC⊥BC，D是AA1的中点．
(1)求直线CD与平面BC1D所成角的正弦值；
(2)求点C到平面BC1D的距离．
18.已知圆C经过点A(−2,0)，B(0,2)，且圆心在直线y=x上.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线 3x+y−b=0交于两点E,F，
(ⅰ)求b的取值范围；
(ⅱ)若在圆C上存在点D，使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值．
19.已知椭圆C:x24+y23=1的左顶点为A，右顶点为B，点P(x0,y0)在椭圆C上(与点A、B不重合)，过D(4,0)且与x轴垂直的直线交直线AP于点G，交直线BP于点H．
(1)求椭圆C的短轴长和离心率；
(2)若线段GH的中点为D，求点P坐标．
20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=4，E为PA的中点，F为PC中点．
(1)求证：PD⊥CD；
(2)设平面BEF与平面PAD的交线为l，
(ⅰ)求二面角B−l−A的余弦值；
(ⅱ)求直线l与直线PC所成角的余弦值．
21.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为D(0,6)，四个顶点组成的四边形面积为72 2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(0,2)的直线与椭圆E交于两点A,B，交x轴于点Q，直线DA,DB与直线y=t分别交于点M,N，线段MN的中点为P.是否存在实数t，使得以PQ为直径的圆总与y轴相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.A
5.D
6.D
7.C
8.A
9.D
10.D
11.12
12.136
13. 97
14.π2；
； ； ； ； ；4

15.②③④
16.(1)当n=4时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，
若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，
不同的选择方法为C51C43=5×4=20(种)．
(2)从5种不同的荤菜和n种不同的素菜中，任取2荤2素，不同的选择方法为C52Cn2(种)．
由题意，得C52Cn2≥200，整理可得nn−1≥40，
因为n∈N∗，所以n≥7，所以n的最小值为7．

17.(1)由CC1⊥平面ABC，AC⊥CB，可得CA,CB,CC1两两垂直，
所以以C为原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，D(1,0,1)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，
所以CD=(1,0,1)，C1D=(1,0,−1)，C1B=(0,1,−2)．
设平面BC1D的法向量为m=(x,y,z)，
所以C1D⋅m=0,C1B⋅m=0,即x−z=0,y−2z=0,
令x=1，则y=2，z=1，于是m=(1,2,1)，
设直线CD与平面BC1D所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|CD⋅m||CD|⋅|m|= 33，
所以直线CD与平面BC1D所成角的正弦值为 33．
(2)因为CC1=(0,0,2)，
所以点C到平面BC1D的距离为|CC1⋅m||m|= 63．

18.(1)根据圆心C在直线y=x上，设圆心C(a,a).
因为圆C经过A(−2,0),B(0,2)，所以|CA|=|CB|，
所以 (a+2)2+a2= a2+(a−2)2，解得a=0.
所以圆心C(0,0)，所以圆C的方程为x2+y2=4．
(2)(ⅰ)由题意，|−b| 3+1