2024-2025学年广东省茂名市高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省茂名市高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(2,1)，B(−1,4)，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘
2.直线l的一个方向向量为m=(−4,2,2)，平面a的一个法向量为n=(2,−1,x)，若l//平面a，则x=( )
A. −5B. 5C. −1D. 1
3.若直线l1:ax−y+1=0与直线l2:(a+2)x−ay−1=0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. 55B. 2 55C. 3 55D. 3 510
4.已知△ABC的顶点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,−1)，则△ABC的面积是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？( )
A. 甲24000元，乙24000元B. 甲32000元，乙16000元
C. 甲40000元，乙8000元D. 甲36000元，乙12000元
6.若圆x2+y2−4ax+2y−1=0的圆心到两坐标轴的距离相等，则a=( )
A. ±1B. 1C. ±12D. 12
7.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合A={x|x=AB⋅APi,i=1,2,⋯,9}，则集合A中元素个数为( )
A. 3B. 4C. 6D. 9
8.过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B(A、B均在y轴右侧).已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为 3−12a，则双曲线C的离心率为( )．
A. 3B. 5C. 2 33D. 3 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程x2m+y22m+5=1(m为实数)表示的曲线C，则( )
A. 曲线C不可能表示一个圆B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆
C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线
10.已知随机事件A，B，C，则下列说法正确的是( )
A. 若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立
B. 若P(A)+P(B)=1，则事件A与事件B互为对立事件
C. 若事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
D. 若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
11.如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2−xy=6，点P(m,n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C关于y=x对称B. m+n的最大值为2 6
C. 该椭圆的离心率为 22D. n的最大值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线x2m2+1−y2=1的实轴长为4，则正数m= 。
13.已知点A(1,−2)，B(2,1)，若直线kx−y−1=0与线段AB有交点，则实数k的取值范围是 。
14.“若点P为椭圆上的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分∠F1PF2的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C:x216+y24=1，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，则|MF1|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
直线l经过两直线l1:3x+4y−2=0和l2:2x+y+2=0的交点．
(1)若直线l与直线3x+y−1=0垂直，求直线l的方程;
(2)若直线l与圆(x−3)2+(y−1)2=25相切，求直线l的方程．
16.(本小题12分)
流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播。科学测定, 当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%-55%时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b).
(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;
(2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)内的概率.
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD =1，BC=3，CD=2，△PCD为等边三角形，平面PBC⊥平面PCD，PB= 13，M为CD的中点．
(1)证明：PM⊥平面ABCD;
(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2+ax−6y+12=0关于直线x−y+1=0对称．
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线3x+y−8=0与圆C相交于A、B两点，求|AB|;
(3)在(2)的前提下，若点Q是圆(x+4)2+(y−3)2=10上的点，求△QAB面积的最大值．
19.(本小题12分)
如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点P(2,1)作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交抛物线于A，B与M，N，当k1=2时，P为AB的中点．
(1)求抛物线C的方程;
(2)若|PM|⋅|PN|=|PA|⋅|PB|，证明：k1+k2=0;
(3)若直线AM过点Q(−2,0)，证明：直线BM过定点，并求出该定点坐标．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.D
6.C
7.A
8.C
9.ACD
10.AC
11.ABD
12. 3
13.[−1,1]
14.4−2 3
15.解：(1)直线l经过两直线l1：3x+4y−2=0和l2：2x+y+2=0的交点，
联立两直线l1：3x+4y−2=0和l2：2x+y+2=0，
解得x=−2，y=2，即交点坐标为(−2,2)，
直线3x+y−1=0的斜率为−3，因为直线l与直线3x+y−1=0垂直，
所以直线l的斜率为13，
所以直线l的方程为y−2=13(x+2)，即x−3y+8=0；
(2)若直线l与圆(x−3)2+(y−1)2=25相切，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，
圆心到直线的距离d=5=r，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为：y−2=k(x+2)，即kx−y+2k+2=0，
根据题意得：圆心到直线的距离d=|5k+1| k2+1=5，解得k=125，
所以直线l的方程为：12x−5y+34=0；
综上：直线l的方程为x=−2或12x−5y+34=0．
16.解：（1）由已知，当空气相对湿度在45%∼55%时，病毒死亡较快，
而样本在45,55上的频数为30，所以所求频率为30300=110；
（2）设事件A为“从区间15,35的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于25,35内”，
设区间15,25中的两个数据为a1、a2，区间25,35中的三个数据为b1、b2、b3，
因此，从区间15,35的数据中任取两个数据，
包含a1,a2、a1,b1、a1,b2、a1,b3、a2,b1、a2,b2、a2,b3、
b1,b2、b1,b3、b2,b3，共10个样本点，
而事件A包含a1,b1，a1,b2，a1,b3，a2,b1，a2,b2，a2,b3，共6个样本点，
所以P(A)=610=35.

17.解：(1)证明：因为△PCD为等边三角形，M为CD的中点，
所以PM⊥CD，
因为CP=CD=2，PB= 13，BC=3，由BC2+PC2=PB2，得BC⊥PC，
因为平面PBC⊥平面PCD，且平面PBC∩平面PCD=PC，BC⊂平面PBC，
所以BC⊥平面PCD，
因为PM⊂平面PCD，所以BC⊥PM，
又因为BC∩CD=C，BC，CD⊂平面ABCD，
所以PM⊥平面ABCD；
(2)由(1)可知，BC，CD，PM两两垂直，以M为原点，过M且平行于BC的直线为x轴，MC，MP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0,0,0)，A(1,−1,0)，B(3,1,0)，P(0,0, 3)，
AB=(2,2,0)，AP=(−1,1, 3)，
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，
则AB⊥mAP⊥m，则AB⋅m=2x+2y=0AP⋅m=−x+y+ 3z=0，
令x= 3，则m=( 3,− 3,2)，
由(1)可知，x轴⊥平面PCD，不妨取平面PCD的法向量为n=(1,0,0)，
则|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|= 3 10= 3010，
故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 3010．
18.解：(1)圆C的方程可化为(x+a2)2+(y−3)2=a24−3，圆心为(−a2,3)，
因为圆C:x2+y2+ax−6y+12=0关于直线x−y+1=0对称，
所以−a2−3+1=0，得a=−4，
所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y−3)2=1;
(2)由(1)得圆心为C(2,3)，半径r=1，
直线AB方程为 3x+y−8=0 ，
则圆心C到直线AB的距离d=6+3−8 10= 1010