2024-2025学年江苏省常州区高一（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州区高一（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若a>b，则下列各式一定成立的是( )
A. a2>b2B. ac2>bc2C. a3>b3D. 1a2b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a
7.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+f(16)=( )
A. 0B. 16C. 22D. 32
8.函数f(x)=cs(ωx)+|x−1|+|x−2|(ω>0)的最小值为0，则ω的最小值为( )
A. πB. π4C. π2D. 2π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数f(x)=(12)x,x0，b>0，当x∈(0,+∞)时，不等式(x+b−1)⋅lg(2ax)≤0恒成立，则1a+2b的最小值为______．
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=|x−a|−a(a∈R)，且对任意x∈R，f(x+6)>f(x)成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P，点P的横坐标为−35．
(1)求csθ+3sinθ3sinθ−csθ的值；
(2)若将射线OP绕点O逆时针旋转π2，得到角α，求sin2α−sinαcsα−cs2α的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg2x.
(1)设函数g(x)是定义域在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式；
(2)当1≤x≤4时，函数ℎ(x)=f(x2a)⋅f(x4)(其中00)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)先将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移π3个单位后得到函数y=g(x)的图象.若|g(x)−t|≤1对任意的x∈[−5π12,0]恒成立，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
已知a>0且a≠1，函数f(x)=4x,x≥02a−x,x 22f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.A
6.C
7.B
8.C
9.AB
10.BCD
11.ACD
12.π3(答案不唯一)．
13.8
14.[0,32)
15.解：(1)∵P在单位圆上，且点P在第二象限，P的横坐标为−35，可求得纵坐标为45，
所以sinθ=45,csθ=−35,tanθ=−43，则csθ+3sinθ3sinθ−csθ=1+3tanθ3tanθ−1=35；
(2)由题知α=θ+π2，则sinα=sin(θ+π2)=csθ=−35，
csα=cs(θ+π2)=−sinθ=−45，
则tanα=sinαcsα=34，
故sin2α−sinαcsα−cs2α=sin2α−sinαcsα−cs2αsin2α+cs2α=tan2α−tanα−1tan2α+1=(34)2−34−1(34)2+1=−1925．
16.解：(1)因为g(x)是定义域在R上的奇函数，
所以g(0)=0，
又因为当x>0时，g(x)=f(x)=lg2x，
所以当x0，
所以g(−x)=lg2(−x)，
即−g(x)=lg2(−x)，
所以g(x)=−lg2(−x)，
综上所述：g(x)=lg2x,x>00,x=0−lg2(−x),x0，x4∈[14,1]，
所以ℎ(x)=f(x2a)⋅f(x4)=lg2x2a⋅lg2x4=(lg2x−a)⋅(lg2x−2)，
设t=lg2x，则t∈[0,2]，
则有g(t)=(t−a)(t−2)，t∈[0,2]，a∈(0,2]，
当a=2时，g(t)=(t−2)2≥0，不满足g(t)min=−0.25，
当a≠2时，由二次函数的性质可知g(t)min=g(a+22)=−(2−a)24=−14，
解得a=1．
17.解：(1)由图可知T2=π3−π12=π4，
∴T=π2=2πω，∴ω=4，
∴f(x)=13sin(4x+φ)，
又f(π12)=13sin(π3+φ)=13,sin(π3+φ)=1,π3+φ=2kπ+π2，
∴φ=2kπ+π6，k∈Z．
∴f(x)=13sin(4x+2kπ+π6)=13sin(4x+π6)，
令4x+π6=kπ，k∈Z，
则x=kπ4−π24，k∈Z，
∴f(x)的对称中心为(kπ4−π24,0)，k∈Z；
(2)根据题意易得g(x)=sin(2(x+π3)+π6)=sin(2x+56π)，
当x∈[−5π12,0],2x+5π6∈[0,5π6]时，g(x)∈[0,1]．
∵|g(x)−t|≤1对任意的x∈[−5π12,0]恒成立，
∴g(x)max≤1+tg(x)min≥−1+t，
∴可得t∈[0,1]．
18.解：(1)因为当0