2024-2025学年内蒙古呼和浩特市回民区高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古呼和浩特市回民区高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点A(1,−2)和点B(−1,−4)的直线的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
2.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
3.在四面体O−ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC，则x+y+z的值为( )
A. 32
B. 1
C. 14
D. 13
4.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为23，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为89，则A题答对的概率为( )
A. 14B. 34C. 12D. 79
5.下列说法正确的是( )
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
B. 回归直线方程为y =0.3−0.7x时，变量x和y负相关
C. 在回归直线方程y =0.4+0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位
D. 由样本数据得到的回归直线y​=b​x+a​至少经过点(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)中的一个
6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，E为A1C1的中点，则BA1与AE所成角的余弦值是( )
A. 3010B. 1515C. 12D. 1510
7.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格.阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为( )附：若X∼N(μ,σ2)，记p(k)=P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)，则p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683．
A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人
8.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点．|F1B|=2|F1A|,F2A⋅F2B=4a2，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 5D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是( )
A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则( )
A. 若x1+x2=8，则|AB|=12B. OA⋅OB=−27
C. 1|AF|+1|BF|=12D. △PAB面积的最小值为16
11.一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则( )
A. 最多需要检测4次可确定患病者B. 第2次检测后就可确定患病者的概率为27
C. 第3次检测后就可确定患病者的概率为27D. 检测次数的期望为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为______. (用数字作答)
13.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，P为直线l：x+y+2=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则四边形PACB的面积的最小值为______．
14.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10，x∈R．
(1)求a3的值；
(2)求a1+a2+a3+…+a10的值；
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值．
16.(本小题15分)
某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门.为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联？
(2)现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
17.(本小题15分)
某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为23，假设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以3：1获胜的概率；
(2)设比赛场数为ξ.试求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=2 2，PA=2，AB⊥BC，E为CD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PAB；
(2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值；
(3)若点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4 515，求点M到平面PCD的距离．
19.(本小题17分)
已知动圆M经过定点F1(− 3,0)，且与圆F2：(x− 3)2+y2=16内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线x=4于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为kAP，kAQ．
(i)求证：kAP⋅kAQ为定值；
(ii)设直线PQ：x=ty+n，证明：直线PQ过定点．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.180
13.3 142
14.881
15.解：(1)T8=C107(2x)3(−1)7=−960x3，所以a3=−960．
(2)令x=0，得a0=1，
令x=1，得a0+a1+a2+a3+...+a10=(−1)10=1，
所以a1+a2+a3+...+a10=0．
(3)因为展开式的通项为：Tk+1=C10k(2x)10−k(−1)k，
所以当k为奇数时，项的系数为负数．|a0|+|a1|+|a2|+...+|a10|=a0−a1+a2−...+a10，
令x=−1，得|a0|+|a1|+|a2|+...+|a10|=a0−a1+a2+...+a10=310．
16.解：(1)零假设为H0：选科类别与选生物无关联，
因为χ2=200×(100×25−15×60)2115×85×160×40=3200391≈8.18>6.635，
所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.01；
(2)若选择生物的人抽取8×100160=5人，不选择生物的人抽取8×60160=3人，
此时X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=C33C83=156，P(X=1)=C51×C32C83=1556，
P(X=2)=C52×C31C83=3056，P(X=3)=C53C83=1056，
则X的分布列为：
故E(X)=0×156+1×1556+2×3056+3×1056=10556=158．
17.解：(1)若甲以3：1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2：1，
因为甲每局获胜的概率为23且每场比赛的结果相互独立，
所以甲以3：1获胜的概率P=C32(23)2(13)⋅(23)=2481．
(2)因为比赛场数为ξ，
所以ξ的所有可能取值为3，4，5，
所以P(ξ=3)=(13)3+(23)3=927=13，
P(ξ=4)=C32(23)2×(13)×(23)+C32(13)2×(23)×(13)=1027，
P(ξ=5)=C42(23)2×(13)2=827，
则ξ的分布列为：
故E(ξ)=3×13+4×1027+5×827=10727；
(3)若选择“五局三胜制”，
此时甲会以3：0、3：1、3：2获胜，
所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率P=(23)3+C32(23)2(13)⋅(23)+C42(23)2(13)2⋅(23)=6481；
若选项“三局两胜制”，
此时甲会以2：0、2：1获胜，
所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率P=(23)2+C21(23)(13)⋅(23)=2027=6081，
因为6481>6081．
所以甲应该采用“五局三胜制”．
18.(1)证明：因为AB/​/CD，CE=12CD=1=AB，
所以四边形ABCE是平行四边形，
因为AB⊥BC，所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB．
因为PA⊥平面ABCD，AE，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，
又因为PA，AB⊂平面PAB，且PA∩AB=A，所以AE⊥平面PAB．
(2)解：由(1)可知PA⊥AE，PA⊥AB，AE⊥AB，即PA，AE，AB两两垂直，
故以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E(2 2,0,0)，D(2 2,−1,0)，C(2 2,1,0)，P(0,0,2)，
设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c)，而AP=(0,0,2)，AD=(2 2,−1,0)，
所以AP⋅n=2c=0AD⋅n=2 2a−b=0，令a=1，则n=(1,2 2,0)，
设平面PCD的一个法向量为u=(r,s,t)，而CD=(0,−2,0)，PC=(2 2,1,−2)，
所以CD⋅u=−2s=0PC⋅u=2 2r+s−2t=0，令r=1，则u=(1,0, 2)，
记平面PAD与平面PCD的夹角为α，则0≤α≤π2，
所以csα=|cs〈n,u〉|=|n⋅u||n||u|=|1+0+0| 1+8× 1+2= 39，
所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为 39．
(3)解：依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M=(0,0,k)，CM=(−2 2,−1,k)，
又由(2)得平面PAD的一个法向量为n=(1,2 2,0)，
记直线CM与平面PAD所成角为β，
所以sinβ=|cs〈n,CM〉|=|n⋅CM||n||CM|=|−2 2−2 2| 1+8× 8+1+k2=4 515，
解得=1(负值舍去)，
所以M(0,0,1)，则MP=(0,0,1)，
而由(2)得平面PCD的一个法向量为u=(1,0, 2)，
所以点M到平面PCD的距离为|MP⋅u||u|=| 2| 1+2= 63．
19.解：(1)设动圆的半径为r，由题圆心F2( 3,0)，半径R=4，
显然点F1(− 3,0)在圆F2内，则|MF2|=R−r=4−|MF1|，
于是|MF1|+|MF2|=4>2 3=|F1F2|，
因此动点M的轨迹C是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长a=2，半焦距c= 3，则短半轴长b= a2−c2=1，
所以轨迹C的方程为x24+y2=1；
(2)(i)证明：如图，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(4,m)，

显然有x124+y12=1，即y12=14(4−x12)，
由(1)知A(−2,0)，B(2,0)，
显然kAP=y1x1+2，kAQ=kAT=m−04−(−2)=m6，
而kBP=kBT=y1x1−2=m2，则m=2y1x1−2，
所以kAP⋅kAQ=y1x1+2⋅m6=y1x1+2⋅y13(x1−2)=y123(x12−4)
=14(4−x12)3(x12−4)=−112，为定值；
(ii)证明：联立x=ty+nx2+4y2=4，化简得(t2+4)y2+2tny+n2−4=0，
则Δ=4t2n2−4(t2+4)(n2−4)=16(t2+4−n2)>0，即t2+4>n2，
由(i)得y1+y2=−2tnt2+4,y1y2=n2−4t2+4，
又kAP⋅kAQ=−112，
则y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2(ty1+n+2)(ty2+n+2)
=y1y2t2y1y2+t(n+2)(y1+y2)+(n+2)2
=n2−4t2+4t2⋅n2−4t2+4−2t2n(n+2)t2+4+(n+2)2
=n2−44n2+16n+16=−112，
解得：n=1，满足Δ>0，
因此直线PQ的方程为x=ty+1，
所以直线PQ过定点(1,0)． 选科类别
是否选择生物
合计
选择生物
不选择生物
物理类
100
60
160
历史类
15
25
40
合计
115
85
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
156
1556
3056
1056
ξ
3
4
5
P
13
1027
827