2024-2025学年山东省淄博市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市某校高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若方程x24−m−y2m=1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. (0,4)B. (−∞,0)C. (4,+∞)D. (−∞,0)∪(0,4)
2.抛物线y=14x2的焦点坐标为( )
A. (−1,0)B. (1,0)C. (0,−1)D. (0,1)
3.平面内点P到F1(0,−2)，F2(0,2)的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是( )
A. x212+y24=1B. x216+y212=1C. y212+x24=1D. y216+x212=1
4.如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为( )
A. 4
B. 2 33
C. 7
D. 3
5.在直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，B1C1的中点，BC=CA=CC1，则AD1与BF1所成角的余弦值是( )
A. 3010B. 12C. 3015D. 1510
6.若圆x2+y2+ax+ 3y+2a−3=0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为( )
A. (2,6)B. (3,5)C. (2,3)∪(5,6)D. (2,3)∪(6,+∞)
7.如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC与△PAB都是边长为2的等边三角形，且PC= 3，则点P到平面ABC的距离为( )
A. 1
B. 32
C. 32
D. 394
8.已知O为坐标原点，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，焦距为2c，以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一和第三象限分别交于M，N两点，且NM⋅AB=2 3ac，则椭圆E的离心率为( )
A. 22B. 2C. 33D. 63
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线x24−y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z)，则不因θ改变而变化的是( )
A. 焦距B. 离心率C. 顶点坐标D. 渐近线方程
10.在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲、乙两名选手评出的成绩(分数)，则下列说法正确的是( )
A. 甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差
B. 甲选手成绩的第75百分位数小于乙选手成绩的第75百分位数
C. 从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为
D. 从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件
11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有( )
A. 线段PQ长度的最小值为2
B. 满足PQ=2 2的情况只有4种
C. 无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直
D. 三棱锥P−ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点P(2,2)是圆C：x2+y2−2y+3−m=0外的一点，则m的取值范围是______．
13.短轴长为2 5，离心率e=23的椭圆的两焦点为F1,F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为_____________．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，直线l：bx+ay−bc=0与C相交于点M，若|MF1|≥8|MF2|，则离心率e的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知动点M到点(6,0)的距离比它到直线x+8=0的距离小2，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(4,−2)，求直线l的方程．
16.(本小题12分)
如图，多面体AFDCBE中，AB⊥平面BCE，AB//CD//EF，BE⊥EC，AB=4，EF=2，EC=2BE=4．
(1)在线段BC上是否存在一点G，使得EG//平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由；
(2)当三棱锥D−AFC的体积为8时，求平面AFD与平面AFC夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
(2)从一批产品(次品和正品的个数均大于3件)中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且经过点A(1,32)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)点E，F是椭圆C上的两个动点，若直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出该定值．
19.(本小题12分)
已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为−1，△OFM的面积为1．
(1)求C的方程；
(2)过点F作一条直线l′，交C于A，B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.(2,7)
13.12
14.(1, 777]
15.解：(1)因为动点M到点(6,0)的距离比它到直线x+8=0的距离小2，
所以动点M到点(6,0)的距离比它到直线x+6=0的距离相等，
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以(6,0)为焦点，x=−6为准线的抛物线，
则轨迹C的方程为y2=24x．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为A，B两点均在轨迹C上，
所以y12=24x1,y22=24x2，
两式相减得y12−y22=24(x1−x2)，
即y1−y2x1−x2=24y1+y2．
因为线段AB的中点坐标为(4,−2)，
所以y1+y2=−4，
可得直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=24−4=−6，
则直线l的方程为y+2=−6(x−4)．
即6x+y−22=0．
16.解：(1)存在BC的中点G满足条件，
取线段AC的中点M，连接PM，MG，
∵MG//AB且MG=12AB，EF/​/AB且EF=12AB，
∴MG=EF，MG//EF，∴四边形MGEF是平行四边形，∴EG//FM，
∵FM⊂平面AFC，EG⊄平面AFC，
∴EG/​/平面AFC．
(2)由VD−AFC=VA−FCD=VB−ECD=13⋅12EC⋅CD⋅BE=8，解得CD=6，
以E为坐标原点，以EC，EB，EF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题可知：A(0,2,4)，P(0,0,2)，C(4,0,0)，D(4,0,6)，
设平面AFC的一个法向量为m=(x,y,z)，
又FA=(0,2,2)，FC=(4,0,−2)，
则m⋅FA=2y+2z=0m⋅FC=4x−2z=0，令x=1，则y=−2，z=2，
∴面AFC的一个法向量为m=(1,−2,2)，
设平面AFD的一个法向量为n=(a,b,c)，
又FD=(4,0,4)，
则n⋅FA=2b+2c=0n⋅FD=4a+4c=0，令a=1，b=1，c=−1，
∴平面AFD的一个法向量为n=(1,1,−1)，
设平面AFD与平面AFC夹角为θ，
则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|= 33．
∴平面AFD与平面AFC夹角的余弦值为 33．
17.解：(1)如图，

设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，
所以样本空间Ω1={(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,4,3)，
(2,1,3,4)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，
(3,4,2,1)，(4,1,3,2)，(4,1,2,3)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}．
(2)设正品为H，次品为T，样本空间Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}．
18.解：(Ⅰ)因为椭圆C的焦距为2，且经过点A(1,32)，
所以2c=21a2+94b2=1a2=b2+c2，
解得a=2,b= 3，
则椭圆C的方程为x24+y23=1；
(Ⅱ)证明：设直线AE方程为y=k(x−1)+32，E(xE,yE)，F(xF,yF)，
联立y=k(x−1)+32x24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(32−k)2−12=0，
由韦达定理得xExA=4(32−k)2−123+4k2，
因为xA=1，
所以xE=4(32−k)2−123+4k2，
又yE=kxE+32−k，
因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，
所以xF=4(32+k)2−123+4k2，yF=−kxF+32+k，
则直线EF的斜率kEF=yF−yExF−xE=−k(xF+xE)+2kxF−xE=12．
故直线EF的斜率为定值，定值为12
19.解：(1)由题意知F(p2,0)，设点M的坐标为(−p2,a)，
则直线MF的斜率为a−0−p2−p2=−ap．
因为直线MF的斜率为−1，所以−ap=−1，即a=p，
所以△OFM的面积S=12|OF||a|=p24=1，
解得p=2或p=−2(舍去)，
故抛物线C的方程为y2=4x．
(2)假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方．
由(1)得F(1,0)，抛物线C的准线l的方程为x=−1．
设直线l′的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(−1,t)，
联立x=my+1y2=4x得y2−4my−4=0，
所以Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m，y1y2=−4．
因为kNF=0−t1+1=−t2，kNA+kNB=y1−tx1+1+y2−tx2+1=2my1y2+(2−tm)(y1+y2)−4tm2y1y2+2m(y1+y2)+4=2m⋅(−4)+4m(2−tm)−4t−4m2+2m⋅4m+4=−4t(m2+1)4(m2+1)=−t，
所以−t=(−t2)2，解得t=0或t=−4．
故存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方，其坐标为(−1,0)或(−1,−4)． 甲
乙
87
90
96
91
86
90
86
92
87
95