第二章相交线与平行线 自我测评卷 同步练习 2024-2025学年 北师大版数学七年级下册

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第二章相交线与平行线 自我测评卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.如图所示，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　D　）第1题图DA.∠3＝∠4 B.∠C＋∠ADC＝180°C.∠C＝∠CDE D.∠1＝∠22.运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　B　）第2题图A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两点确定一条直线D.平行线之间的距离处处相等3.如图所示，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　C　）第3题图A.20° B.30° C.40° D.50°4.一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1余角的度数为（　D　）第4题图A.45° B.55°C.65° D.75°5.如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是（　B　）A.∠3＝∠1B.∠3＝90°＋∠1C.∠3＝90°－∠1 D.∠3＝180°－∠16.跨学科·物理如图所示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1＝155°，∠3＝55°，则∠2的度数为（　B　）第6题图A.25° B.30° C.35° D.40°7.如图所示，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（　C　）第7题图A.∠1＝∠2 B.∠4＝∠CC.∠1＋∠3＝180° D.∠3＋∠C＝180°8.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明.嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，在黑板上给出了如下推理过程：已知：如图所示，b∥a，c∥a，求证：b∥c.证明：作直线DF分别交直线a，b，c于点D，E，F，因为a∥b，所以∠1＝∠4.因为a∥c，所以∠1＝∠5.所以b∥c.琪琪认为嘉嘉的推理不严谨，需要在“所以∠1＝∠5”和“所以b∥c”之间作补充，你认为下列说法正确的是（　D　）A.嘉嘉的推理严谨，不需要补充B.应补充“所以∠2＝∠5”C.应补充“所以∠3＋∠5＝180°”D.应补充“所以∠4＝∠5”9.如图所示，AB∥CD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，点E在AD的延长线上，连接EC，∠ECD＝∠CED，下列结论：①BC∥AD；②∠B＝∠CDA；③AC⊥EC；④∠B＝3∠CED.其中正确的个数为（　C　）A.1 B.2 C.3 D.410.新情境生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图所示，AB垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠B＝165°，则∠C的大小为（　B　）A.95° B.105° C.115° D.125°二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.如图所示，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是　DC　.第11题图12.如图所示，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝29°，则∠CON的度数为　61　度.第12题图13.若一个角的余角的5倍等于它的补角，则这个角的度数为　67.5°　.14.（2023·丹东东港期中）如图所示，∠ABD＝∠EFD，∠FEC与∠ECD互补，当∠FEC＝150°，∠ABC＝43°时，∠BCE的度数为　13°　.第14题图15.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别落在M，N的位置上，若∠EFG＝56°，则∠2＝　112°　.第15题图16.某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图所示，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与PO平行的方向射出.若∠AOB＝145°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　55　°.三、解答题（本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分9分）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD.（1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数.解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°.∵∠COE＝50°，∴∠AOC＝40°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝140°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝12∠AOD＝12×140°＝70°.（2）若∠COE∶∠AOF＝2∶3，求∠BOD的度数.解：（2）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°.∵∠COE∶∠AOF＝2∶3，设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°，∴∠AOC＝（90－2x）°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOF＝6x°，∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴90－2x＋6x＝180，解得x＝452，∴∠BOD＝∠AOC＝（90－2x）°＝90－2×452°＝45°.18.（本小题满分9分）如图所示，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.证明：∵∠1＝∠B，∴CE∥BF，∴∠AOE＝∠AFB.∵AF⊥CE，∴∠AOE＝90°，∴∠AFB＝90°.∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝180°，∴∠AFC＋∠2＝90°.∵∠A＋∠2＝90°，∴∠AFC＝∠A，∴AB∥CD.19.（本小题满分10分）如图所示，∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°.（1）若∠2＝125°，求∠C的度数.解：（1）∵∠1＝∠B，∴CF∥EB，∴∠C＋∠2＝180°，又∵∠2＝125°，∴∠C＝55°.（2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？解：（2）∵∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°，∴∠1＋∠BFD＝90°，又∵∠1和∠D互余，即∠1＋∠D＝90°，∴∠BFD＝∠D，∴AB∥CD.20.（本小题满分10分）跨学科·地理如图①所示是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A～H表示，得到如图②所示的几何示意图.已知AB∥GF，试说明∠ABC＝∠BCF＋∠CFG.　解：方法一：如图①所示，延长AB交CF于点P，所以∠CBP＝180°－∠ABC.因为AB∥GF，所以∠CPB＝∠CFG，所以∠BCF＝180°－∠CBP－∠CPB＝180°－（180°－∠ABC）－∠CFG，所以∠ABC＝∠BCF＋∠CFG.方法二：如图②所示，过点C作CQ∥AB，因为AB∥GF，所以CQ∥AB∥GF，所以∠BCQ＋∠ABC＝180°，∠FCQ＋∠CFG＝180°，所以∠BCQ＝180°－∠ABC，∠BCQ＋∠BCF＋∠CFG＝180°，所以180°－∠ABC＋∠BCF＋∠CFG＝180°，即∠ABC＝∠BCF＋∠CFG.21.（本小题满分10分）已知：如图所示，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC.求证：DF平分∠BDE.证明：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵AC∥DE，∴∠1＝∠3，故∠2＝∠3.∵DF∥AE，∴∠2＝∠5，∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∴DF平分∠BDE.22.（本小题满分12分）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图所示方式叠放在一起（其中∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，∠ECD＝∠EDC＝45°）.（1）若∠ACE＝125°，则∠BCD的度数为　10°　.（2）如图所示，在此位置将三角形ABC绕点C顺时针转动，设∠BCD＝α.①若AB∥CE，求α的度数（请说明理由）.解：①当AB在CE的上方时，因为AB∥CE，所以∠BCE＝∠B＝30°.因为∠DCE＝45°，所以∠BCD＝45°－30°＝15°，即α＝15°；当AB在CE的下方时，因为AB∥CE，所以∠ACE＝∠A＝60°.因为∠DCE＝45°，所以∠BCD＝360°－90°－45°－60°＝165°，即α＝165°.综上所述，若AB∥CE，α的度数为15°或165°.②当旋转角度不超过180°时，这两块三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出α的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由.②除了AB∥CE外，还存在互相平行的边，当AC∥DE时，α＝45°，当AB∥DE时，α＝105°，当BC∥DE时，α＝135°，当AB∥CD时，α＝150°.综上所述，还存在互相平行的边，α为45°或105°或135°或150°.23.（本小题满分12分）探究拓展如图①所示，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC的度数.小明的思路是：过P作PE∥AB，如图②所示，通过平行线的性质来求∠APC.（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　100°　.（2）如图③所示，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.解：（2）∠DPC＝∠α＋∠β，理由：如图①所示，过点P作PF∥AD，所以∠DPF＝∠ADP＝∠α.因为AD∥BC，所以PF∥BC，所以∠CPF＝∠PCB＝∠β.因为∠DPC＝∠DPF＋∠CPF，所以∠DPC＝∠α＋∠β.①（3）在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与A，B，O三点不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系.解：（3）分两种情况：当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β－∠α.理由：如图②所示，过点P作PG∥AD，所以∠GPD＝∠ADP＝∠α.因为AD∥BC，所以PG∥BC，所＋以∠GPC＝∠BCP＝∠β.因为∠DPC＝∠GPC－∠GPD，所以∠DPC＝∠β－∠α.当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α－∠β，理由：如图③所示，过点P作PH∥AD，所以∠HPD＝∠ADP＝∠α.因为AD∥BC，所以PH∥BC，所以∠HPC＝∠BCP＝∠β.因为∠DPC＝∠HPD－∠HPC，所以∠DPC＝∠α－∠β.综上所述：当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β－∠α；当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α－∠β.