初中数学6 完全平方公式第三课时教案设计

这是一份初中数学6 完全平方公式第三课时教案设计，共5页。教案主要包含了情境导入，探究新知等内容，欢迎下载使用。
教学内容
第 3课时 完全平方公式的认识
课时
1
核心素养目标
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力。
2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
3.了解(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2的几何背景，发展几何直观。
知识目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点；
2.会运用公式进行简单的运算；
教学重点
理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。
教学难点
会运用公式进行简单的运算。
教学准备
课件
教学过程
主要师生活动
设计意图
一、情境导入
二、探究新知
当堂练习，巩固所学
创设情境，导入新知
1.由下面的两个图形你能得到哪个公式？

平方差公式：(a + b)(a－b) = a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
师生活动：学生举手回答问题。
小组合作，探究概念和性质
合作探究
计算下列各式：
(1) (m + 3)2
= (m + 3)(m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2 + 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9。
(2) (2 + 3x)2
= (2 + 3x)(2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2。
观察以上算式及其运算结果,你有什么发现？你能再举一些类似的例子吗？与同伴进行交流。
发现：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 。
思考·交流
（1）你能用下图解释上面的公式吗?
大正方形的面积：(a＋b)2
小正方形的面积之和：a2 + 2ab + b2
得：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2
（2）如何计算(a－b)2？你是怎样做的？与同伴进行交流。
答案：(1) (a－b)2 = (a－b)(a－b)= a2－2ab＋b2
(2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2= a2＋2a(－b)＋(－b)2= a2－2ab＋b2
发现：(a－b)2 = a2－2ab + b2 。
师生活动：教学中可以先让学生自己计算并比较结果与方法，方法1与法2依教学需要而呈现，如教学中已出现这两种方法，则不必重复。
尝试·思考
(a－b)2 = a2－2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式。
(a − b)2 = a2 − ab − b(a − b) = a2－2ab + b2
师：播放PPT——验证平方差公式，展示图形拼接过程。
生：
认真观察教师所展示的图片拼接过程；
独立思考并完成问题；
同桌间交流，积极举手发言。
知识要点
完全平方公式：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 。
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。这两个公式叫做完全平方公式。
简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4.公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式。
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2；
(4x＋5y)2；

(3) (mn－a)2。
解：(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2•mn•a＋a2
= m2n2－2amn＋a2。
师生活动：采用先独立完成，再小组合作探究学习。
想一想
思考：(a + b)2 与 (－a－b)2 相等吗?
(a－b)2 与 (b－a)2 相等吗?
(a－b)2 与 a2－b2 相等吗? 为什么?
解：(－a－b)2 = (－a)2－2·(－a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2。
(b－a)2 = b2－2ba + a2 = a2－2ab + b2 = (a－b)2。
(a－b)2 与 a2－b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a－b)2 = a2－b2。
回顾·思考
回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟?
学生思考并交流。
教师总结：图形可以直观解释乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的结构特征，而乘法公式又是对图形的抽象。
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴ (m＋1)xy＝±2·6x·5y。
∴ m＋1＝±60。
∴ m＝59或－61。
师生活动：学生独立思考，学生代表讲述思路，教师整理板书并引导学生总结：
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解。
当堂练习，巩固所学
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
(2) (x－y)2 = x2－y2；
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2；
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2。
2.运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2。
设计意图：本堂课的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步发展学生的符号感和推理能力。而这个过程离不开旧知识的铺垫，平方差公式的学习有很多教学环节和形式与本节的学习是类似的，其中包含的基本知识与基本能力也仍是本节的精神主旨，因而复习很有必要。
设计意图：完全平方公式是多项式乘多项式运算的直接结果，是多项式乘多项式运算的一种特殊情况。
这两个具有相同特征的等式，即(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2的形式，与引人平方差公式的想法一样，让学生观察等式的特点，通过对比等式两边代数式的结构，得到一般性的结论。
再让学生自己举例加深对公式的体会。
设计意图：几何直观的方法对(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2进行解释，不仅使学生更清晰地“看到”公式的结构，同时感受这样的抽象代数运算也有直观的背景。
设计意图：议一议是让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平方公式，培养学生有条理的思考和语言表达能力。
设计意图：做一做使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平方公式。从而学生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的过程，学生的数形结合意识得以培养，并且从不同的角度推导出了公式，并且加以巩固。
设计意图：知识要点是在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步地认识了完全平方公式。
设计意图： 理解公式的结构特征， a和b可以表示什么？经过思考和讨论让学生探宄并建构自己的知识结构和能力结构，老师再适当引导和精讲，使全体学生真正理解和的完全平方公式的结构特征。
设计意图： 通过符号不同的完全平方形式，进一步理解完全平方公式。 同时让学生体会两数差的完全平方与平方差之间的区别。
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解。
设计意图：巩固对完全平方公式的理解和加强公式的运用。
板书设计
完全平方公式的认识
完全平方公式
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 。
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 。
简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”
课后小结
教学反思
本节课是整式一章中是个重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。 学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度。 在教学过程中，应注重引导学生归纳公式的等号两边的结构特征，特别注意让学生用自己的语言描述公式的结构特征，同时引导学生在运用公式过程中容易出现的问题和注意的细节，比如二倍乘积在中央的时候，符号问题。 然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用。 为完全平方公式第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备。