2025年新高考数学精析考点考点08函数的奇偶性、周期性(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
【核心题型】
题型一 函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【例题1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的图像关于点中心对称D．当时，取到最小值
【答案】BC
【分析】利用三角变换和图象变换得到，代入计算后可判断AD的正误，根据定义可判断B的正误，利用整体法可求判断C的正误.
【详解】
，
故，
对于A，，故A错误.
对于B，，而，故为偶函数，故B正确.
对于C，令，则，
故的图像的对称中心对称为，当时，对称中心为，故C正确.
对于D，，故为取到最大值，故D错误.
故选：BC.
【变式1】（2024·北京丰台·一模）已知函数具有下列性质：
①当时，都有；
②在区间上，单调递增；
③是偶函数．
则 ；函数可能的一个解析式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】令即可求出，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可.
【详解】因为当时，都有，
令可得，解得，
不妨令，，
则，所以在上单调递增，满足②；
又，所以为偶函数，满足③；
当时，
，，
所以，满足①.
故答案为：；（答案不唯一）
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知，．下列结论中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
【答案】①③④
【分析】根据题意，由指数的运算即可判断①②，由函数奇偶性的定义即可判断③，利用导数判断函数的单调性，即可判断④.
【详解】因为，故①正确；
因为，故②错误；
因为，
定义域为，关于原点对称，
则，
所以，
所以是奇函数，故③正确；
令，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即函数在上单调递增，
所以，即，
又，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，，则函数在上单调递增，
所以对，，故④正确；
故答案为：①③④
【变式3】（2024·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ．
【答案】/
【分析】根据题意，由条件可得为偶函数，再由偶函数的性质即可得到结果.
【详解】因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数，
则为偶函数，即，，则，则．
故答案为：
题型二 函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
【例题2】（2023·四川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先通过函数为奇函数求出，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【详解】依题意是奇函数，所以，即，
则，，
当时，令，解得或，
根据对称性，当时，，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可得，解得，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为的奇函数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据对称中心，考虑正弦函数（答案不唯一，正确即可）
【详解】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点对称，
所以此函数可类比于正弦函数，
因为正弦函数是奇函数，且关于点对称，
所以可联想到.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
【答案】27
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解.
【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
而，①
所以，即，②
由①②得，所以．
故答案为：.
命题点2 利用奇偶性解不等式
【例题3】（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合，及单调性的定义可判断单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【详解】，，
由于是定义在上的奇函数，即，
，故为奇函数，
对于任意的，，有，
，
当时，有，
即，
， 单调递增，
，
，
，
整理可得，，
解可得，或，
故选：D
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，判断的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.
【详解】记，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为
，
所以为偶函数.
所以，
又在上单调递增，
所以，即，解得.
故选：C
【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调性进行求解.
【变式2】（2024·四川南充·二模）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，说明其单调性和奇偶性, 转化为解不等式即可求解.
【详解】，
设，
又易知，为上的奇函数，
又，
在上单调递增，
又，
，
，
，又为上的奇函数，
，又在上单调递增，
，
，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.
题型三 函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【例题4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以的周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以，
故选：C.
【变式1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解.
【详解】由，得，则，即函数的周期为4，
由是R上的奇函数，得，即，
于是，，即，
因此，AB错误；
由，取，得，则，
因此，取，得，
于是，
则，C错误，D正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】C
【分析】根据抽象函数的周期性求函数值.
【详解】因为，所以．
又因为，所以，
所以，即，
所以，所以函数是周期为4的函数．
在中令，得，即，
所以．
故选:C．
【变式3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是周期为4的周期函数
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算一一判定选项即可.
【详解】因为，所以．
又因为，所以．
又，则，
即，所以，故是周期为4的周期函数．
因为，所以也是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，则，即，
所以，所以为偶函数，故A错误；
因为，令，得，即，
令，得，即，
故，故C正确；
由，
得
，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】由寄偶函数的概念及图像性质可判断必要性成立，通过举特例可判断充分性不成立.
【详解】令，若是奇函数或偶函数，则，
所以是偶函数，所以的图像关于轴对称，必要性成立；
反之，不妨令则，所以的图像关于轴对称，
但是是非奇非偶函数，充分性不成立，则甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
2．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（ ）
A．为偶函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为奇函数
【答案】D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.
【详解】定义在上的函数周期为，所以，
又为奇函数，所以，
即，所以为奇函数，故B错误；
所以，则，
所以，则为奇函数，故D正确；
由，所以，则关于对称，
令，则，满足函数周期为，
且满足为奇函数，
但是为奇函数，故A错误；
令，则，满足函数周期为，
又满足为奇函数，
但是为偶函数，故C错误.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.
【详解】由题知的定义域为，且，
所以为偶函数．
又当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以若成立，则需解得．
故选B．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，，分别为函数和的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，的值域为
C．当时，若恒成立，则a的取值范围为
D．当时，满足
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性以及即可求得，可得A正确；利用基本不等式可得，但等号不成立，即B错误；对参数a的取值进行分类讨论，利用导数求得函数单调性即可得a的取值范围为，即C正确；易知，累成即可得D正确.
【详解】对于A，因为和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，
即可得，
所以可得，，故A正确；
对于B，，
当且仅当时，等号成立，又因为，所以的值域为，故B错误．
对于C，分两种情况．①，令，
当时，则，单调递增，
所以，即；
②，方程的正根为，
若，则，单调递减，
，即，与题设矛盾．
综上，a的取值范围是，故C正确．
对于D，，
则，
，
…
，
累乘得
，
故，故D正确．
故选：ACD
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】先将化简，再逐项分析答案即可.
【详解】因为的定义域为，所以，
又因为
，
所以为偶函数，故A正确；
的最小正周期为，故B正确；
因为，所以没有最大值；
当时，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合是奇函数，是偶函数，推得函数是周期为12的周期函数，进而求得的值，得到答案.
【详解】解法一因为是奇函数，可得 ，所以，
又因为是偶函数，可得，即，
所以，
所以是周期为12的周期函数，则．
解法二 因为是奇函数，可得的图象关于点对称，
又因为是偶函数，可得的图象关于直线对称，
所以是周期为12的周期函数，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，则．
故答案为：.
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证.
【详解】解：当，又因为为上的奇函数，
所以，解得，
又，所以当．
故答案为：.
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为52，最小值为
【分析】（1）利用函数奇偶性可得，再由在上取得极大值2可求得，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求导可得其在上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
因为是奇函数，所以，则.
由，得.
因为在上取得极大值2，
所以解得
经经检验当时，在处取得极大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
当时，单调递增；
当和时，单调递减；
即函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，
所以在上的最大值为52，最小值为.
10．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式.
【答案】(1)最大值为，最小值为0
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，再利用三角函数的性质求解；
（2）由得到函数的一个周期为，再由（1）得到求解.
【详解】（1）由已知，
，
又因为则，
所以，即，，
所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0.
（2）由可知函数的一个周期为，
又由（1）可知，
当时，，则，
由知，，
当时，则，
由知，
综上，.
11．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而的解析式；
（2）易知在上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可；
（3）原问题等价于在上的最小值不大于在上的最小值.
【详解】（1）由题意知，
即，所以，故.
（2）由（1）知，，易知在上单调递增，
所以不等式恒成立，等价于，
即恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数的取值范围是.
（3）因为存在，对任意的，都有，
所以在上的最小值不大于在上的最小值.
因为在上单调递增，
所以当时，.
图象的对称轴方程为，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得；
当时，在上单调递减，，解得，
所以.
综上，实数的取值范围是.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解，
（2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解.
【详解】（1），且，所以为奇函数，
将代入可得，即，所以，
即，因为，所以，代入可得，
解得，故；
，函数为奇函数，满足，故．
（2）只要，设，则，
∵，∴，∴，即，
故函数在[1，2]上单调递增，最小值为．
法一：在[1，2]上恒成立，只要，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故当时，，所以．
法二：，，
当时，，，解得，舍去；
当时，，，解得，因此，
综上所述：．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为
，
所以，
因为为奇函数，所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，
所以在处的切线方程为，即.
故选：A
2．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质运算即可求解.
【详解】设，显然它定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
，则，
所以，.
故选：C.
3．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，即，
又关于原点对称，则，有，
所以的周期为4，故.
故选：A
4．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件可求得时的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当时的解析式，分情况解出不等式即可.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，则，
则，所以，
则当时，，
当时，，
则，
则当时，不等式为，
解得，
当时，不等式为，
解得，
故不等式的解集为，
故选：A.
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得.
【详解】显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数，
因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得，
设，则，令，则有，即，
解得，即，因此点或，或，
选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．-4048B．0C．2024D．4048
【答案】D
【分析】先得到，从而得到，利用等差数列的性质和公式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且
，
故为奇函数，
即，，
又，
所以，即，
故选：D
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由可得，
故的一个周期为4，
由为奇函数可得，得，
对于，令，得，则，
令，得，又，所以，
则，
故
.
故选：C.
8．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数满足，可得函数是以为周期的周期函数，再根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，
所以
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0