2025年新高考数学精析考点考点27函数y＝Asin(ωx＋φ)(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
【知识点】
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
【核心题型】
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值
【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知函数的最小正周期为，给出下列三个结论：
①；②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式1】（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ．
【变式2】（2024·山东·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，函数，图象的相邻两对称轴间的距离为，且，将的图象向右平移个单位得到的图象且，的内切圆的周长为．则的面积的最小值为 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标伸长至原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数在区间内的所有零点之和；
(2)若，讨论函数的单调性．
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（ ）

A．B．C．D．
【变式1】（2024·海南·模拟预测）如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移与时间满足函数，点在该函数的图象上，且位置如图所示，则 .

【变式2】（2024·湖北武汉·二模）函数的部分图象如图所示，则 .

【变式3】（2023·河北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，且.

(1)求与的值；
(2)若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
命题点1 图象与性质的综合应用
【例题3】（2024·四川·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论：
①；
②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数，且的最小正周期为，给出下列结论：
①函数在区间单调递减；
②函数关于直线对称；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式2】（2024·青海西宁·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为 ， .
【变式3】（2023·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
命题点2 函数零点(方程根)问题
【例题4】（2023·河南·模拟预测）若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022·陕西渭南·一模）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ．
【变式2】（2022·全国·模拟预测）若方程在上的两个不等实根为，，则 ．
【变式3】（2023·上海宝山·二模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
命题点3 三角函数模型
【例题5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5mB．87.5mC．82.5mD．
【变式1】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（ ）
A．9秒B．12秒C．15秒D．20秒
【变式2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
【变式3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）如图，均匀的圆面绕圆心作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为，在旋转圆面的右侧有一固定相机C（C，两点在的两侧），且，.

(1)记旋转角为.若，求t的取值范围及弦的长度；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O为坐标原点，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．C．0D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（ ）
A．0B．C．D．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数（，）满足，且在上单调递减，则（ ）
A．B．为奇函数
C．的对称轴为，D．在上有3个零点
6．（2024·山东日照·二模）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆的半径为，则
三、填空题
7．（22-23高三上·河北·阶段练习）如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且，的面积等于．若时，关于x的方程恰有3个不同的实数根，则m的取值范围是 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 .
四、解答题
10．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
11．（2023·四川绵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．当时，的最小值为
B．在区间上单调递增
C．的最小正周期为
D．的图象关于直线对称
2．（2024·陕西渭南·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东广州·二模）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A．B．1C．－1D．
6．（2024·甘肃酒泉·三模）函数，其部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若，是关于x的方程在内的两个不同的根，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．在上仅有1个零点
10．（2024·浙江金华·三模）已知在上是单调函数，且的图象关于点对称，则（ ）
A．若，则
B．的图象的一条对称轴方程为
C．函数在上无零点
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数
11．（2024·河北石家庄·三模）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．若方程在上有且只有5个根，则
三、填空题
12．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 .
13．（2024·贵州贵阳·一模）函数的部分图象如图所示，已知，且，则 ．
14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．

四、解答题
15．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
16．（2024·福建三明·三模）已知函数（其中）其中图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)若在上有最大值无最小值，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，设，求在的极大值点.
17．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.
(1)
求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
18．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
19．（2023·陕西安康·一模）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁·三模）已知函数，图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的振幅是，初相是
B．若函数的图象上的所有点向左平移后，对应函数为奇函数，则
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若函数的图象关于中心对称，则函数的最小正周期的最小值为
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·山东聊城·三模）设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8B．6C．4D．2
二、多选题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的图象关于中心对称
B．当时，将图象向右平移个单位长度后的函数图象关于y轴对称
C．当时，在上单调递减
D．设的周期为T，若时，，为方程的两个不相等实根，则
6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示.若函数的图像在区间上有两条对称轴，且，则的取值范围是 .

8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则 ．

9．（2024·辽宁抚顺·一模）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2023·四川泸州·一模）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．
11．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝_____
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0