2025年新高考数学精析考点考点35等差数列(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系
【知识点】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 ．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝ .
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A
【核心题型】
题型一 等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．
【例题1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型二 等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为.若，则（ ）
A．110B．115C．120D．125
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知数列满足，则“数列是等差数列”的充要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列中，，数列的前和为，为等差数列，，则 ．
【变式3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列为等差数列，并求；
(2)令，求数列的前项和.
题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合
【例题3】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4B．C．D．
【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）在等差数列中，若，则（ ）
A．45B．6C．7D．8
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）设是等比数列，且，，则 ．
【变式3】（2023·陕西·模拟预测）已知等差数列中，，则 .
命题点2 等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
【例题4】（2024·山东日照·三模）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．36C．D．18
【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4B．6C．7D．9
【变式2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列的前项和为，，则 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知等差数列的前15项之和为60，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2022高三上·河南·专题练习）若数列的前项和，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京·模拟预测）记等差数列的公差为，前项和为，若，且，则该数列的公差为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2024·湖北·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，，则数列的首项（ ）
A．3B．2C．1D．
二、多选题
5．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列的前n项和为D．数列的前n项和为
6．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为递减数列D．的前5项和为
三、填空题
7．（2024·湖南邵阳·三模）已知数列与均为等差数列，且，则 .
8．（宁夏石嘴山·一模）已知数列满足，，其中为的前项和，则 .
9．（2024·湖南长沙·三模）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 .
四、解答题
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
11．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数.
(1)求的分布列及期望；
(2)证明：是等差数列.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（ ）
A．3B．C．1D．
2．（2022高三上·河南·专题练习）已知数列的前n项和为，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川雅安·三模）在等差数列中，若，则（ ）
A．21B．24C．27D．29
4．（2024·广东茂名·二模）设等差数列的前项和为，且，则的值是（ ）
A．11B．50C．55D．60
5．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．25B．27C．30D．35
6．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．-1
7．（2024·江西赣州·二模）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48B．24C．12D．8
8．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为1
C．为递增数列D．为递减数列
10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列为递减数列
C．数列为等差数列D．
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则存在，使得是等差数列
B．若，则存在，使得是等比数列
C．若，则存在，使得是等差数列
D．若，则存在，使得是等比数列
三、填空题
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则 .
13．（2024·河南开封·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则 ．
14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则公差的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，，求的前n项和．
16．（2023·江西·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为为的前项和，为等差数列．
(1)求与的关系；
(2)若为数列的前项和，求使得成立的的最大值．
18．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
19．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·河北保定·三模）已知在等差数列中，，公差.若数列也是等差数列，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．（2024·重庆·三模）等差数列的前项和为，若，则公差（ ）
A．12B．2C．3D．4
4．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．70B．65C．55D．50
二、多选题
5．（2024·辽宁·一模）等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则，
6．（2024·全国·一模）已知数列：，，，，，，，，，，，其中第项为，接下来的项为，，接下来的项为，，，再接下来的项为，，，，依此类推，则（ ）
A．
B．
C．存在正整数，使得，，成等比数列
D．有且仅有个不同的正整数，使得
三、填空题
7．（2024·四川凉山·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则 ．
8．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列的前项和为，则 ．
9．（2023·福建·模拟预测）已知数列的首项不为零，满足，，则 .
四、解答题
10．（2022·福建厦门·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
11．（2024·广东·模拟预测）已知数列与为等差数列，，，前项和为．
(1)求出与的通项公式；
(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．