2025年新高考数学精析考点考点46直线的方程(4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)(1)

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【考试提醒】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
【知识点】
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则 就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4．直线方程的五种形式
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)
【核心题型】
题型一 直线的倾斜角与斜率
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
【例题1】（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 .
【变式3】（2023·陕西安康·模拟预测）在直角坐标系中，已知直线，（为参数），为的倾斜角，与轴交于点，与轴正半轴交于点，且的面积为．
(1)求；
(2)若与曲线交于两点，求的值．
题型二 求直线的方程
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数
【例题2】（2023·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·青海·模拟预测）已知点在圆心为的圆M外，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则过P与直线AB平行的直线方程为 ．
【变式3】（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
题型三 直线方程的综合应用
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决
【例题3】（2020高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
【变式1】（23-24高三上·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．4B．C．2D．
【变式2】（22-23高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 .
【变式3】（2024·浙江金华·三模）已知函数在处的切线的方向向量为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间与极值.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数的图象经过点，则函数在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·四川绵阳·二模）过点，且与原点距离最大的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·吉林长春·一模）已知，下列说法正确的是（ ）
A．时，
B．若方程有两个根，则
C．若直线与有两个交点，则或
D．函数有3个零点
6．（2023·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2B．C．D．
三、填空题
7．（2023高三·全国·专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
8．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 ．
9．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程 ．
四、解答题
10．（22-23高三全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围．
11．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【综合提升练】
一、单选题
1．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（20-21高三下·安徽·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与点的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·贵州遵义·一模）已知直线与函数的图象在处的切线没有交点，则（ ）
A．6B．7C．8D．12
6．（2024高三·全国·专题练习）过点P（1，1）且被圆x2＋y2＝4截得的弦长最短的直线的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0B．y－1＝0
C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0
7．（2024·河北·模拟预测）已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·湖北·阶段练习）设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示
10．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
11．（23-24高三下·全国·强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（ ）．
A．若，则l与射线PQ相交B．若，则l与射线PQ平行
C．若，则l与射线PQ垂直D．若x存在，则Q在l上
三、填空题
12．（2023·北京丰台·二模）已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是 ．
13．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则
14．（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
试判断四边形的形状，并给出证明.
16．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的直线的方程：
(1)经过点A（－3，4），倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)经过点B（3，2），且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍；
(3)过定点A（－3，4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3；
(4)直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），求过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程．
17．（2024高三·全国·专题练习）已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限；
(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
18．（2023·陕西咸阳·二模）已知，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)，若图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．
19．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数，且.
(1)若函数的最小值为，试证明:点在定直线上；
(2)若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西上饶·一模）作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
6．（2024·重庆·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）直线的倾斜角为 .
8．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ．
四、解答题
10．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E，求E的方程
11．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆内有一内接，C点坐标，AB所在直线的斜率是，当面积最大时，求直线AB的方程．
名称
方程
适用范围
点斜式
不含直线x＝x0
斜截式
不含垂直于x轴的直线
两点式
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
α
0°
0°