2025年新高考数学精析考点考点47两条直线的位置关系(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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【考试提醒】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【知识点】
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)
【核心题型】
题型一 两条直线的平行与垂直
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论
【例题1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【详解】当时，直线，则，
当时，，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
【变式1】（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】代入，可得两直线为同一直线，可得结果.
【详解】当时，
直线即直线，
直线即直线，
所以两直线重合，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【变式2】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 .
【答案】
【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可.
【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即，
因为，所以，
故答案为：
【变式3】已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.
答案 3或－2 eq \f(1,7)
解析 因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，
所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，
若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝eq \f(1,7)，经检验符合题意．
题型二 两直线的交点与距离问题
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等
【例题2】（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答.
【详解】解方程组，得直线与直线的交点，
依题意，，解得，
所以实数.
故选：A
【变式1】经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋3＝0，,x＋2y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.
【变式2】两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3)
B．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
C．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
D．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3)
答案 D
解析 依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，
得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，
所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，
即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，
所以两直线间的距离d＝eq \f(|9－4|,\r(62＋32))＝eq \f(\r(5),3).
【变式3】(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为( )
A．y＝1 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
答案 AB
解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，
此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，
截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，
且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝kx－3，,x＋y＋1＝0，))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－2,k＋1)，\f(－4k＋1,k＋1)))；
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝kx－3，,x＋y＋6＝0，))得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－7,k＋1)，\f(－9k＋1,k＋1))).
由|AB|＝5，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k＋1,k＋1)－\f(－9k＋1,k＋1)))2＝52，
解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.
综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.
题型三 对称问题
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题
命题点1 点关于点的对称问题
【例题3】（2022·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案
【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
【变式1】（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程.
【详解】解：直线关于点对称的直线的方程可设为，其中
又点到直线与到直线的距离相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直线方程为：.
故答案为：
【变式2】（2022高三·全国·专题练习）已知直线l ：， P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离
【答案】直线的方程为；直线与间的距离为.
【分析】在直线上取两个特殊点，分别求出这两个点关于点的对称点，再根据两点式可求出直线的方程，根据两平行直线间的距离公式可求出两平行直线间的距离.
【详解】当时,直线，
在直线上取点和，
点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，
则点和点在直线上，
由两点式可得直线的方程：，即，
此时直线与间的距离为.
【变式3】（2020高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，4)对称，求直线l的方程．
【答案】6x－8y＋9＝0.
【解析】设直线l的方程为y＝kx＋b，写出再次平移后的直线方程，由第二次平移后直线与原直线重合可求得，然后在直线上取一点，它关于的对称点坐标，由对称点在直线上可求得结果．
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，
将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，
∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，
直线l1的方程为y＝x＋＋b，取直线l上的一点，则点P关于点(2，4)的对称点为，
∴8－b－＝ (4－m)＋b＋，解得b＝.
∴直线l的方程是y＝，即6x－8y＋9＝0.
故答案为：6x－8y＋9＝0
命题点2 点关于直线的对称问题
【例题4】（2024·青海海西·模拟预测）一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆相交，即可求解斜率的范围.
【详解】点关于轴的对称点为，
设反射光线的斜率为，直线方程为，整理为，
当反射光线与圆相交时，，解得，
可得反射光线的斜率的取值范围为，
故选：C．
【变式1】(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．2eq \r(13) B．9 C.eq \r(74) D．10
答案 C
解析 依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－4,m－2)＝－1，,\f(n＋4,2)＝\f(m＋2,2)＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝3，))
∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，
在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，
则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，
∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝eq \r(－4－32＋8－32)＝eq \r(74)，故|AC|＋|BC| 的最小值为eq \r(74).
命题点3 直线关于直线的对称问题
【例题5】（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
【变式1】两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
答案 C
解析 设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－y1,x－x1)＝－1，,\f(x＋x1,2)－\f(y＋y1,2)－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝y＋2，,y1＝x－2，))(*)
∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，
∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．
【变式2】（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 .
【答案】或
【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果.
【详解】

直线交轴于点，交轴于点，
设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上，
所以，则的中点在直线上，所以①，
又②，联立①②可得或，
所以直线的方程为或.
故答案为：或.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知在中，，.
(1)若的面积为，求点C的轨迹方程；
(2)若直线平分内角C，求点C的坐标.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用面积得点C到直线AB的距离恒为2，利用平行线距离公式求解即可；
（2）根据平分的几何性质列式求解，从而求得直线方程，联立方程即可求得交点坐标.
【详解】（1），，，的面积为，
则点C到直线AB的距离恒为2，
所以点C的轨迹是一条与直线AB平行的直线，且与直线AB的距离为2，
直线AB的方程为，
所以设点C的轨迹方程为，
所以，解得，
所以点C的轨迹方程为或.
（2）因为直线平分，所以点B关于直线的对称点在直线AC上.
设，则，解得，所以，
所以直线的方程为，
则直线与直线的交点即为点C，即
，解得，所以点C的坐标为
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据点关于直线的对称得到，点为以为圆心，半径为1的圆，（除去），数形结合得到面积的最大值.
【详解】设，则与的中点坐标为，
由题意得，
消去得，
故点为以为圆心，半径为1的圆，（除去），
故的最大值为2，位于的正上方，
故面积的最大值为
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．异面
【答案】B
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为，
且为一元二次方程的两不等实数根，
则，所以.
故选：B
3．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解.
【详解】由可得，
即过定点，
由可得，
即过定点，
又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），
其中圆心为，半径为，
所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，
只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，
此时 到直线的距离不为1，故符合.
故选：B
4．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 直线l1的斜率k1＝eq \f(a－1－4,2－a)＝eq \f(a－5,2－a)，直线l2的斜率k2＝－2，
所以eq \f(a－5,2－a)＝－2，解得a＝－1，经检验符合题意．
5．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于( )
A．－6 B．4 C．－10 D．－4
答案 D
解析 因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10，
因为垂足为(1，b)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10×1－4×b＋2＝0，,2×1＋5×b＋c＝0，))故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝－17，))
故a＋b＋c＝－4.
6．(2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( )
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
答案 D
解析 因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.
当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，
k1＝－eq \f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，则两直线垂直；
当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，
l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．
7．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
答案 B
解析 因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为
eq \f(|1－3|,\r(12＋－22))＝eq \f(2,\r(5))，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为eq \f(|c1－c2|,\r(32＋42))＝eq \f(|c1－c2|,5)，
于是有eq \f(|c1－c2|,5)＝eq \f(2,\r(5))⇒|c1－c2|＝2eq \r(5).
8．(2023·牡丹江模拟)直线y＝eq \f(\r(3),3)x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是( )
A.eq \r(3)x＋y－2＝0 B.eq \r(3)x＋y＋2＝0
C．x＋eq \r(3)y－2＝0 D．x＋eq \r(3)y＋2＝0
答案 C
解析 直线y＝eq \f(\r(3),3)x与直线x＝1交于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
所以直线l的斜率为－eq \f(\r(3),3)且过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
所以直线l的方程为y－eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),3)(x－1)，
即x＋eq \r(3)y－2＝0.
9．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意一点，M为PQ的中点，若|AM|＝eq \f(1,2)|PQ|，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案 A
解析 根据题意画出图形，如图所示．
直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，M为PQ的中点，若|AM|＝eq \f(1,2)|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，则1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.
二、多选题
10．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
答案 AC
解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为eq \f(3－－5,2－4)＝－4，
所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，
l的斜率为eq \f(2－－1,1－3)＝－eq \f(3,2)，
此时l的方程是y－2＝－eq \f(3,2)(x－1)，
即3x＋2y－7＝0.
11.设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是( )
A．直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B. l1与l2至多有无穷多个交点
C．l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠b
D．记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线
答案 BC
解析 对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；
对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C正确；
对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误．
三、填空题
12．过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是________．
答案 2x＋y－10＝0
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＋5＝0，,2x－y＋6＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝8，))直线x－2y＋1＝0的斜率为eq \f(1,2)，
故过点(1,8)且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为y－8＝－2(x－1)，
即2x＋y－10＝0.
13．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．
答案 －2 eq \r(5)
解析 已知直线l1：2x＋y＋1＝0和l2：x＋ay＋3＝0，
若l1⊥l2，则2＋a＝0，解得a＝－2；
若l1∥l2，则2a＝1，解得a＝eq \f(1,2)，此时直线l2：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合，
故此时l1与l2间的距离d＝eq \f(|5|,\r(1＋4))＝eq \r(5).
17．(2022·岳阳模拟)点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________．
答案 (－8，－3)
解析 设点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A(a，b),
由对称性知，直线x＋y＋1＝0与线段PA垂直，所以kPA＝eq \f(b－7,a－2)＝1，
所以a－b＝－5，又线段PA的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋a,2)，\f(7＋b,2)))在直线x＋y＋1＝0上，
即eq \f(2＋a,2)＋eq \f(7＋b,2)＋1＝0, 所以a＋b＝－11，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝－5，,a＋b＝－11，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－8，,b＝－3，))
所以点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)．
15．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝________.
答案 －1或eq \f(8,3)或－2
解析 由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，
此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；
②当l3∥l2时，不能构成三角形，
此时a×3＝4×2，解得a＝eq \f(8,3)；
③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时
联立l1与l2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,4x＋3y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
所以l1与l2的交点为(－2,1)，
将(－2,1)代入l3，
得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，
综上，当a＝－1或eq \f(8,3)或－2时，不能构成三角形．
【综合提升练】
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，，
即，则，即；
当时，，解得.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，所以，
当且仅当或时等号成立．
即的最小值为4，
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.
【详解】因为，所以，，
解得，所以，
故两平行直线间的距离．
故选：C．
二、多选题
4．(2022·保定模拟)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是( )
A．若l1∥l2，则a＝6
B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为eq \f(7,4)
C．若l1⊥l2，则a＝eq \f(32,3)
D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交
答案 AD
解析 若l1∥l2，则4a＝3×8，∴a＝6，故A正确；
由A知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0，
故两条平行直线之间的距离为eq \f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq \f(7,2)，故B不正确；
若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，∴a＝－eq \f(32,3)，故C不正确；
由A知，当a＝6时，l1∥l2，
∴若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确．
5．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
【答案】ABD
【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断.
【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，
由解得，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；
点关于直线的对称点为，
所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；
对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，
由解得；点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.
故选：ABD.


三、填空题
6．（2022高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
7．设△ABC的一个顶点是A(－3,1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为__________.
答案 2x－y－5＝0
解析 ∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称．A(－3,1)关于x＝0的对称点A′(3,1)在直线BC上，A(－3,1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.
8．（2023·全国·模拟预测）已知直线与相交于点，过点的直线与分别交于两点，写出一个使“”成立的直线的方程： ．
【答案】（或）（答案不唯一）
【分析】联立方程可得两直线交点坐标，即可分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解方程组得点的坐标为，则，
则直线的方程为，即．
设点到直线的距离分别为．
当直线的斜率不存在时，方程为，则，
则，所以，符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为．
解得点的坐标为，则；
解得点的坐标为，则．
所以．解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为（或）．
故答案为：（或）（答案不唯一）
四、解答题
9．（21-22高三上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为.
(1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解；
（2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可；
法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解.
【详解】（1）由得交点，
由直线与直线垂直，则可设直线的方程为，
又直线过点，代入得，则，
所以直线的方程为；
（2）法一：由题意可得直线与直线平行，
则可设直线方程为：，
由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等，
即，得（舍）或，所以直线的方程为.
法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为，
且点在直线上，得，
化简得直线的方程为.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知，，直线：，：，且，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据直线垂直得出，再结合基本不等式分别判断ABD选项，应用赋值法判断C选项即可.
【详解】，
，，，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C.
二、填空题
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 .
【答案】/0.25
【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果.
【详解】因为，
即，当且仅当时取等号，
，即的最大值为.
故答案为：.
3．(2023·临沂模拟)已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________．
答案 x－2y＋4＝0
解析 如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点(－4,4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝eq \f(4＋1,－4－6)(x＋4)，即x＋2y－4＝0，
令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为(0,2)，
所以CD所在直线的方程为y＝eq \f(4－2,4－0)x＋2，即x－2y＋4＝0.
4. 如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为__________.
答案 6
解析 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
即ab－6＝0，∴ab＝6，b＝eq \f(6,a).
Rt△ABC的面积S＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(b2＋9)＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(\f(36,a2)＋9)＝eq \f(1,2)eq \r(72＋9a2＋\f(144,a2))≥eq \f(1,2)×eq \r(72＋72)＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．
∴△ABC的面积的最小值为6.
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0