人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念巩固练习

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考点一：数列的概念
①数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
②数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
③数列有三种表示法：列表法、图象法和通项公式法．
考点二：数列的分类
①按照项数分：有限数列和无限数列
②按照单调性分：
考点三：数列的常用的表示方法
①通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．
②递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
考点四：周期数列
题型目录
题型一：数列的基本概念
题型二：观察法求数列的通项
题型三：数列的周期性
题型四：数列的单调性
题型五：数列的最大（小）项
典型例题
题型一：数列的基本概念
【例1】（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例2】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列
C．数列2，4，6，8可表示为D．数列中的每一项都与它的序号有关
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．数列，，，可以表示为
B．数列，，，与，，，是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列与是相同的
2．（2022·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（ ）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线
D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点
3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下面四个结论正确的是（ ）
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
C．数列的图像是一系列孤立的点
D．数列的项数是无限的
题型二：观察法求数列的通项
【例1】（2023陕西·安康市教学研究室一模（理））在数列中，第9个数是（ ）
A．B．3C．D．10
【例2】（2022·全国·高二课时练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（ ）．
A．不在此数列中B．第13项C．第14项D．第15项
【例3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【例4】（2022·广西百色·高二期末（文））若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（ ）
A．B．C．D．
【例5】（2022·全国·高二课时练习）（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．
【例6】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【题型专练】
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）
A．9802B．9991C．10001D．10202
2．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200B．210C．220D．242
4．（2022·河南驻马店·高二期中（理））如果正整数排列规律如下：
（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……
则第十个括号内从左到右第3个数是（ ）
A．39B．46C．47D．48
5．（2022·广东·佛山一中高二期中）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高二课时练习多选题）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习多选题）已知数列的前项为、、、、，则的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，的第14项是_________．
9．（2022·全国·高二单元测试）数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
10．（2022·全国·高二课时练习）数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项．
12．（2022·江苏·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，，，；
(2)，，，；
(3)11，101，1001，10001；
(4)，，，．
13．（2022·全国·高二课时练习）如图，是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，…，，…的长度构成数列．
（1）写出数列的前4项：______；
（2）写出数列的一个递推公式：______．
题型三：数列的周期性
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【例2】在数列中，若，，，则等于（ ）
A．6B．－6C．3D．－3
【例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列满足且，则（ ）
A．B．C．D．3
【例4】若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
【例5】（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．2
【例6】数列满足若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例7】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）．
A．8B．2C．3D．7
【题型专练】
1.数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2.若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67B．68C．134D．167
3.（2022·辽宁·高二期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
4.已知数列满足，，若且记数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．3028C．D．3029
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知数列满足，，则（ ）
A．0B．C．D．
6.（2022·河北·沧县中学高三）已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．-1D．2
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
题型四：数列的单调性
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【例2】（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．C．（－∞，1]D．
【例4】（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2023·全国·高三专题练习）函数对任意，由得到的数列均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【例6】（2022·全国·高二课时练习多选题）下列是递增数列的是（ ）
A．B．C．D．
【题型专练】
1.（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一期中）已知，，若数列满足，对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·广东·高二期末）设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高二期中）已知函数的定义域为R，数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·北京八中高二期末）在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型五：数列的最大（小）项
【例1】（2022·全国·高二课时练习多选题）数列与函数是密不可分的，数列是自变量为正整数的特殊函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，数列的最小项和最大项分别是，
B．，数列的最小项和最大项分别是，
C．，数列的最大项是
D．，数列的最小项是
【例2】已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ）
A．B．1
C．2D．3
【例3】（2022·全国·高一专题练习）已知数列满足，若数列的最大项为，则实数k的取值范围为______．
【例4】已知数列满足 ，，则的最小值为（ ）
A．2 -1B．C．D．
【例5】（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为___________.
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)讨论数列的单调性；
(2)求数列的最大项和最小项.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)依次写出数列的前项；
(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．
3．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，.
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列中的最大项.
4.（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．