2024-2025学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷 （含解析），共24页。试卷主要包含了填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分） ．
2．（2分）一元二次方程的根是 ．
3．（2分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
4．（2分）在实数范围内分解因式： ．
5．（2分）函数的定义域是 ．
6．（2分）已知函数，那么 ．
7．（2分）已知正比例函数是常数，，如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 象限．
8．（2分）已知点，和点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （填“”、“ ”、“ ”
9．（2分）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
10．（2分）已知两个定点、的距离为5厘米，那么到点、距离之和为5厘米的点的轨迹是 ．
11．（2分）学校组织一次乒乓球赛，每两队之间都要赛一场．如果一共赛了15场，那么有 支球队参赛．
12．（2分）如图，在△中，，的角平分线交于点，于点，如果△与△的周长分别为13和3．那么的长为 ．
13．（2分）如图，在△中，，是的垂直平分线，，，那么的长为 ．
14．（2分）定义：关于的一元二次方程：、、是常数，与、、是常数，，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与、是常数，是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】
15．（3分）在下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
16．（3分）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是
A．B．C．D．
17．（3分）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的地为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程
A．B．
C．D．
18．（3分）如图，在△中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是
A．B．C．D．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，润分24分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）如图，在△，，平分，于点，点在边上，．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
22．（6分）八（1）班“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旅杆顶端垂直挂下来的升旅用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图）．根据以上信息，求旗杆的高度．
四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分：第25、26题，每题10分：满分36分）
23．（8分）某鲜花种植基地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内的温度与时间之间的函数关系如图所示．其中线段、表示恒温系统开启后的阶段，反比例函数图象的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度关于时间的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）如果大棚内的温度低于不利于某种鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜花生长的时间共多少小时？
24．（8分）已知：在△中，，．点、在线段上．
（1）如图1，如果，求证：．
（2）如图2，如果，求证：．
25．（10分）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中，射线与反比例函数的图象交于点，点在函数的图象上．且轴．
（1）当点横坐标为4时，求直线的表达式；
（2）联结，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标；
（3）当点是的中点时，在轴上找一点，使△是等腰三角形，求点的坐标．
26．（10分）如图，在△中，，，，点为边的中点，点是边上的动点（点与点不重合），作，交线段于点，联结、、．
（1）若．求的长；
（2）若，△的面积是，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当△沿翻折，点落在点的位置，当△是以点为直角顶点的直角三角形时，求的长．
参考答案
一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）
1．（2分） ．
解：原式
．
故答案为：．
2．（2分）一元二次方程的根是 ， ．
解：，
，
，
或，
，．
故答案为：，．
3．（2分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
解：因为关于的一元二次方程有实根，
所以△，
解之得．
故答案为．
4．（2分）在实数范围内分解因式： ．
解：原式，
故答案为：．
5．（2分）函数的定义域是 ．
解：根据题意得：且，
即，
解得：．
故答案为．
6．（2分）已知函数，那么 ．
解：．
故答案为：．
7．（2分）已知正比例函数是常数，，如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 二、四 象限．
解：正比例函数是常数，，的值随的值增大而减小，
，
该正比例函数的图象经过第二、四象限．
故答案为：二、四．
8．（2分）已知点，和点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （填“”、“ ”、“ ”
【解答】解法一：点，和点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
解法二：对于反比例函数在每一象限内，随的增大而减小，
点，和点，在反比例函数的图象上，且，
．
故答案为：．
9．（2分）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 ．
解：命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．
10．（2分）已知两个定点、的距离为5厘米，那么到点、距离之和为5厘米的点的轨迹是 线段 ．
解：设点到点、距离之和为5厘米，连接、，则厘米，
厘米，
，
假设点不在线段上，是，与不符，
点在线段上，
满足厘米的点都在线段上，且线段上的点都满足厘米，
到点、距离之和为5厘米的点的轨迹是线段，
故答案为：线段．
11．（2分）学校组织一次乒乓球赛，每两队之间都要赛一场．如果一共赛了15场，那么有 6 支球队参赛．
解：设有支球队参赛，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
有6支球队参赛．
故答案为：6．
12．（2分）如图，在△中，，的角平分线交于点，于点，如果△与△的周长分别为13和3．那么的长为 5 ．
解：，平分，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
△与△的周长分别为13和3，
，，
，
．
故答案为：5．
13．（2分）如图，在△中，，是的垂直平分线，，，那么的长为 ．
解：是的垂直平分线，
，
在△中，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（2分）定义：关于的一元二次方程：、、是常数，与、、是常数，，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与、是常数，是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 2025 ．
解：由题意得：，
，
解得：，
，
故答案为：2025．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】
15．（3分）在下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
解：、，不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
16．（3分）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是
A．B．C．D．
解：正比例函数是常数，的图象经过点，
，得，
正比例函数，
当时，，即点在这个正比例函数图象上，故选项符合题意；
当时，，则点不在这个正比例函数图象上，故选项不符合题意；
当时，，则点和点都不在这个正比例函数图象上，故选项、不符合题意；
故选：．
17．（3分）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的地为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程
A．B．
C．D．
解：由题意，．
故选：．
18．（3分）如图，在△中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是
A．B．C．D．
解：，是斜边的中线，是斜边的高，
，于点，
故正确；
，
是边上的中线，
，
，
故正确；
在△和△中，
，
△△，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
，
故错误，
故选：．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，润分24分）
19．（6分）计算：．
解：原式
．
20．（6分）解方程：．
解：，
，
，
，
，
，
，．
21．（6分）如图，在△，，平分，于点，点在边上，．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【解答】（1）证明：平分，，，
，，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：在△与△中，
，
△△，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，，
，
，
在△中，，
，
．
22．（6分）八（1）班“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旅杆顶端垂直挂下来的升旅用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图）．根据以上信息，求旗杆的高度．
解：设米，则米，米，根据题意得：
在△中，根据勾股定理得：，
，
．
答：旗杆的高度为13米．
四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分：第25、26题，每题10分：满分36分）
23．（8分）某鲜花种植基地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内的温度与时间之间的函数关系如图所示．其中线段、表示恒温系统开启后的阶段，反比例函数图象的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度关于时间的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）如果大棚内的温度低于不利于某种鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜花生长的时间共多少小时？
解：（1）设直线的函数解析式为：，根据题意，
可得方程，
，
正比例函数解析式为；
根据图象可知：；
（2）；
当时，，
恒定温度为：．
（3）设小时内函数解析式为，
根据题意，可得方程，
，
函数解析式为，
小时函数解析式为：，
当时，，
，
当时，，
，
在20时时4小时之间是气温是低于的，
气温低于的总时间为：，
气温高于的适宜温度是：．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
24．（8分）已知：在△中，，．点、在线段上．
（1）如图1，如果，求证：．
（2）如图2，如果，求证：．
【解答】证明：（1）如图1，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
．
（2）如图2，将△绕点沿逆时针方向旋转得到△，联结，
，，
，
由旋转得，，，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
．
25．（10分）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中，射线与反比例函数的图象交于点，点在函数的图象上．且轴．
（1）当点横坐标为4时，求直线的表达式；
（2）联结，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标；
（3）当点是的中点时，在轴上找一点，使△是等腰三角形，求点的坐标．
解：（1）点横坐标为4，
点横坐标为：，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
直线的解析式为；
（2）点的坐标为（其中，轴，
点纵坐标为4，
当时，，
，
，
平分与轴正半轴的夹角，
，
轴，
，
，
，
；
（3）如图，过作轴于，过作轴于，
，
点是的中点，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
把代得，
，
，
△是等腰三角形，
①时，△是等腰三角形，
，或，；
②时，△是等腰三角形，
，
；
③当时，△是等腰三角形，如图，
此时，点在的垂直平分线上，
设，
，
，
在△中，，
，
，
，，
综上所述，点的坐标为，或，或或，．
26．（10分）如图，在△中，，，，点为边的中点，点是边上的动点（点与点不重合），作，交线段于点，联结、、．
（1）若．求的长；
（2）若，△的面积是，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当△沿翻折，点落在点的位置，当△是以点为直角顶点的直角三角形时，求的长．
解：（1）在△中，，，，
，
令，
点是边上的动点，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
解得：，
的长为；
（2）由（1）可得△△，
，即，
，
，，，
，
如图1，作交于点，
，
，
△△，
，即，
，
点是边的中点，
，
，即，
，
整理得：，
点是边上的动点，点与点不重复，
，
关于的函数关系式为，定义域为；
（3），△沿翻折，点落在点的位置，
点在直线上，△△，
，，
△是以点为直角顶点的直角三角形，
；
若点落在边的延长线上，如图2，
此时，不满足条件，
点只能落在线段上，如图3，
由题意可知，
，
，
，
，
，
△是等腰三角形，，
点是边的中点，
，
，
，，，
△△，
，
，
，
的长为．
题号
15
16
17
18
答案
B
A
D
D