2024-2025学年上海市黄浦区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区八年级（上）期末数学试卷 （含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分）下列函数中，是正比例函数的是
A．B．C．D．
3．（2分）下列关于的方程中，有两个实数根的是
A．B．
C．D．为常数）
4．（2分）已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是
A．B．
C．D．
5．（2分）下列命题中，是假命题的是
A．百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例
B．反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小
C．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
D．直角三角形可以分割成两个等腰三角形
6．（2分）如图，△中，，，，是边上的中线，是△的角平分线，下列结论错误的是
A．
B．点到的距离等于线段的长度
C．点在线段的垂直平分线上
D．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）函数的定义域是 ．
8．（3分）计算： ．
9．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，那么 ．
10．（3分）方程的根是 ．
11．（3分）在实数范围内分解因式： ．
12．（3分）关于的一元二次方程根的情况是 ．
13．（3分）函数的图象经过第 象限（请全部写出）．
14．（3分）反比例函数的图象上有两点，，那么 0．（用“”、“ ”或“”填空）
15．（3分）勾股定理的逆命题是（写成“如果那么”的形式） ．
16．（3分）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ．
17．（3分）将两块斜边长等于2的三角尺△与△的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，联结和，那么△的面积等于 ．
18．（3分）如图1，已知直角三角形中，，，、为直线上的两点，且．设、两点的距离为，△与△重叠部分的面积为，图2是关于的函数的图象．根据两图信息，图2中段函数的解析式是 ．
三、简答题（本大题共4题，第19~21题每题6分；第22题8分，共26分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）如图，已知线段，
（1）求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论．
（2）如果，求等腰三角形的腰长．
22．（8分）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克立方米）与时间（月成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中关于的函数解析式是 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．，结果精确到
四、解答题（本大题共3题，第23~24题每题8分；第25题10分，共26分）
23．（8分）如图，直角三角形中，，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分．
（1）求证：平分；
（2）如果是中点，，求长度．
24．（8分）如图，已知直线与交于点，，平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点、重合），点在射线上，满足，联结．
（1）求证：；
（2）设，△的面积为，求与的函数解析式．
25．（10分）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为抛物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是抛物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，联结，并作，垂足为，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．
已知抛物线的准线的表达式为．
（1）①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为 ；
②如图，如果，作轴，那么 ， ．
（2）直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标；
（3）反比例函数图象与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
解：、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、是最简二次根式，故此选项符合题意；
、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
2．（2分）下列函数中，是正比例函数的是
A．B．C．D．
解：、，是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
、是反比例函数，故此选项不符合题意；
、是二次函数，故此选项不符合题意；
、是正比例函数，故此选项符合题意；
故选：．
3．（2分）下列关于的方程中，有两个实数根的是
A．B．
C．D．为常数）
解：、△，该方程有两个不相等的实数根，符合题意；
、△，无实数根，不符合题意；
、△，无实数根，不符合题意；
、△，可能小于0，不一定有两个实数根，不符合题意．
故选：．
4．（2分）已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是
A．B．
C．D．
解：设上底长为，高为，
下底为，
梯形面积为6，
，
整理得：，
与成反比例关系，
，
反比例函数的图象在第一象限，
故选：．
5．（2分）下列命题中，是假命题的是
A．百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例
B．反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小
C．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
D．直角三角形可以分割成两个等腰三角形
解：、百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例，正确，是真命题，不符合题意；
、反比例函数，当或，的值随着的增大而逐渐减小，故原命题错误，是假命题，符合题意；
、三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
、直角三角形可以分割成两个等腰三角形，正确，是真命题，不符合题意；
故选：．
6．（2分）如图，△中，，，，是边上的中线，是△的角平分线，下列结论错误的是
A．
B．点到的距离等于线段的长度
C．点在线段的垂直平分线上
D．
解：、由题意可知：与的位置关系不能确定，故本选项结论错误，符合题意；
、如图，过点作于，
，，
，
，
是△的角平分线，，，
，即点到的距离等于线段的长度，故本选项结论正确，不符合题意；
、在△中，，是边上的中线，
则，
点在线段的垂直平分线上，故本选项结论正确，不符合题意；
、，
，故本选项结论正确，不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）函数的定义域是 ．
解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
8．（3分）计算： ．
解：，
故答案为：．
9．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，那么 ．
解：的图象在第一、三象限，
，
，
，
故答案为：．
10．（3分）方程的根是 ， ．
解：由原方程，得．
解得．
故答案为：．
11．（3分）在实数范围内分解因式： ．
解：解方程得，
，，
，
故答案为：．
12．（3分）关于的一元二次方程根的情况是 方程有两个不相等的实数根． ．
解：，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
13．（3分）函数的图象经过第 一、三 象限（请全部写出）．
解：正比例函数中，
该正比例函数过第一、三象限，
故答案为：一、三．
14．（3分）反比例函数的图象上有两点，，那么 0．（用“”、“ ”或“”填空）
解：反比例函数中，，
在每个象限内随的增大而减小．
，
，
，
故答案为：．
15．（3分）勾股定理的逆命题是（写成“如果那么”的形式） 如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形 ．
解：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
16．（3分）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 12 ．
解：如图，设字母所表示的正方形的边长为，
由勾股定理得：，
字母所表示的正方形的面积，
故答案为：12．
17．（3分）将两块斜边长等于2的三角尺△与△的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，联结和，那么△的面积等于 ．
解：如图，过点作于，
在△中，，为中点，斜边，
则，，
在△中，，为中点，斜边，
，
△为等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（3分）如图1，已知直角三角形中，，，、为直线上的两点，且．设、两点的距离为，△与△重叠部分的面积为，图2是关于的函数的图象．根据两图信息，图2中段函数的解析式是 ．
解：由题知，
点的坐标与图1中点运动到点时对应，
则．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
点的坐标与图1中点运动到点时对应，
则点的横坐标为：，点的纵坐标为：，
所以点的坐标为．
令图2中段函数的解析式为，
则，
解得，
所以．
故答案为：．
三、简答题（本大题共4题，第19~21题每题6分；第22题8分，共26分）
19．（6分）计算：．
解：原式
．
20．（6分）解方程：．
解：，
，
，
，
这里，，，
，
，．
21．（6分）如图，已知线段，
（1）求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论．
（2）如果，求等腰三角形的腰长．
解：（1）如图，△即为所求；
（2）由题意，，
，，
，
．
22．（8分）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克立方米）与时间（月成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中关于的函数解析式是 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．，结果精确到
解：（1）当时，设，
经过点，
，
解得：，
；
施工过程中关于的函数解析式为：．
故答案为：；
（2）当时，设，
经过点，
，
，
当时，．
答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住；
（3）当时，，
当时，．
设这两个月降低的百分率为，
，
，
解得：（不合题意，舍去），．
答：降低的百分率约为．
四、解答题（本大题共3题，第23~24题每题8分；第25题10分，共26分）
23．（8分）如图，直角三角形中，，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分．
（1）求证：平分；
（2）如果是中点，，求长度．
【解答】（1）证明：垂直平分，
，，
平分；
（2）解：，是中点，
是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
解得：．
24．（8分）如图，已知直线与交于点，，平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点、重合），点在射线上，满足，联结．
（1）求证：；
（2）设，△的面积为，求与的函数解析式．
【解答】（1）证明：过点作于点，于点，过点作于点，如图1所示：
，
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：，平分，
，
在△中，，，
，
由勾股定理得：，
同理：，，
，，
，
在△中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
由（1）可知：△△，
，
，
，
点是线段上的一点（不与点、重合），
．
与的函数解析式为：．
25．（10分）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为抛物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是抛物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，联结，并作，垂足为，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．
已知抛物线的准线的表达式为．
（1）①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为 ；
②如图，如果，作轴，那么 ， ．
（2）直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标；
（3）反比例函数图象与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式．
解：（1）①点到的距离等点到点距离，
，
故答案为：；
②，，，
，
，
轴，
，
，
故答案为：2，；
（2）如图1，
作于，交轴于，连接，作轴，
设，
，
，，
在△中，
，
，
或（舍去），
；
（3）如图2，
作，交轴于，作轴于，
，
，
，，
，
在△中，
，
，，
设反比例函数的解析式为，
，
，
这个反比例函数的函数解析式为：．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
A
C
B
A