2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷 （含解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，筒答題等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是
A．B．C．D．
3．（2分）已知正比例函数（其中为常数，且，如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是
A．B．C．0D．2
4．（2分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是
A．图象在第一、三象限
B．比例系数为
C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大
D．如果点和点在该函数的图象上，那么
5．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、、、、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是
A．直线B．直线C．直线D．直线
6．（2分）如图，在△中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，联结．下列结论中，不一定正确的是
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）化简： ．
8．（3分）方程的根是 ．
9．（3分）函数的定义域是 ．
10．（3分）已知函数，那么 ．
11．（3分）在实数范围内分解因式： ．
12．（3分）已知点的坐标为，点的坐标为，那么 ．
13．（3分）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为，那么可列方程为 ．
14．（3分）命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”
15．（3分）如图，在△中，，平分，若，，则 ．
16．（3分）如图，已知在△和△中，，，，如果，那么的大小为 ．
17．（3分）定义：如果函数图象上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图象上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ．
18．（3分）如图，已知等腰△中，，将△绕点逆时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、．如果直线与直线的夹角为，那么△面积的值等于 ．
三、筒答題（本大题共4題，每道6分，满分52分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；如表记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据．
根据提供的信息，回答下列问题：
（1）由表可知，关于的函数解析式为 ；的值为 ；
（2）由图可知，的值为 ；在的时段内，甲的速度为 千米时；
（3）先到达广场并拍照的人是 ，且比另一位早到 分钟．
22．（6分）如图，已知为的一边上一点，．
（1）如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点；
（2）在第（1）题的条件下，联结、，如果，求点到直线的距离．
23．（8分）如图，已知△的三边满足，，，其中、都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）取边的中点，求证：．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
（1）求双曲线的表达式；
（2）已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．
25．（12分）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明．
【研究老图形】在例题1的图中，分别联结、、．
（1）点为△三条 的交点，点为△三条 的交点（填写序号）；
①边的垂直平分线
②角平分线
③高
④中线
（2）小普发现△和△的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么 ．（用含的代数式表示）
【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的△叫做△的“内三角形”，点叫做“共心”．（3）已知△是△的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．
参考答案
一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
2．（2分）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是
A．B．C．D．
解：、解方程，得，有两个相等的实数根，不符合题意．
、△，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
、△，无实数根，不符合题意；
、△，有两个相等的实数根，不符合题意．
故选：．
3．（2分）已知正比例函数（其中为常数，且，如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是
A．B．C．0D．2
解：正比例函数（其中为常数，且中，的值随的值增大而增大，
，
解得，
，
不可能是．
故选：．
4．（2分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是
A．图象在第一、三象限
B．比例系数为
C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大
D．如果点和点在该函数的图象上，那么
解：，
，
函数图象在二，四象限，在每个象限随的增大而增大，故选项，，错误，选项正确．
故选：．
5．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、、、、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是
A．直线B．直线C．直线D．直线
解：连接、、、，
由勾股定理得能：，，
，
和在线段的垂直平分线上，
和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线．
故选：．
6．（2分）如图，在△中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，联结．下列结论中，不一定正确的是
A．B．
C．D．
解：，
，
由作法得，
，
，
，
，
点在边上且到边和边的距离相等，
平分，
，
，
，所以选项不符合题意；
，，
只有当时，，此时，所以选项符合题意；
，
而，
，所以选项不符合题意；
，
点到的距离等于点到的距离，
，所以选项不符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）化简： ．
解：根据二次根式的性质进行化简可得：
．
故答案为：．
8．（3分）方程的根是 ， ．
解：，
，
，．
故答案为：，．
9．（3分）函数的定义域是 且 ．
解：由可得，
解得且，
故答案为：且．
10．（3分）已知函数，那么 ．
解：．
故答案为：．
11．（3分）在实数范围内分解因式： ． ．
解：，
，
，
．
故答案为：．
12．（3分）已知点的坐标为，点的坐标为，那么 5 ．
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
故答案为：5．
13．（3分）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为，那么可列方程为 ．
解：该品牌汽车销量的年增长率均为．
由题意得，．
故答案为：．
14．（3分）命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是 真 命题．（填“真”或“假”
解：，，
，
同理：，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，，
，
，
△△，
则命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是真命题，
故答案为：真．
15．（3分）如图，在△中，，平分，若，，则 ．
解：平分，
，
，
△中，．
故答案为：．
16．（3分）如图，已知在△和△中，，，，如果，那么的大小为 ．
解：，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
，
，
故答案为：．
17．（3分）定义：如果函数图象上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图象上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ．
解：设图象上一点，
向左平移个单位，再向上平移个单位，该点坐标为，
是“可回旋”函数，
，
，
，
，
“可回旋单位”是，
故答案为：．
18．（3分）如图，已知等腰△中，，将△绕点逆时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、．如果直线与直线的夹角为，那么△面积的值等于 或 ．
解：设直线与直线交点为，
等腰△中，，．
，，
将△绕点逆时针旋转得到△，
，
①当时，如图，
，
过作于点，
，
；
②当时，如图，
，
过作于点，则，
，
，
；
综上，△面积的值等于或，
故答案为：或．
三、筒答題（本大题共4題，每道6分，满分52分）
19．（6分）计算：．
解：原式
．
20．（6分）解方程：．
解：，
，
，
，
则或，
所以，．
21．（6分）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；如表记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据．
根据提供的信息，回答下列问题：
（1）由表可知，关于的函数解析式为 ；的值为 ；
（2）由图可知，的值为 ；在的时段内，甲的速度为 千米时；
（3）先到达广场并拍照的人是 ，且比另一位早到 分钟．
解：（1）设关于的函数解析式为、为常数，且．
将，和，分别代入，
得，
解得，
关于的函数解析式为，
将，代入，
得，
解得．
故答案为：，0.45．
（2）根据题意，得，
解得，
在的时段内，甲的速度为（千米时）．
故答案为：3，10．
（3）由图象可知，小区距广场的距离为12千米．
甲到达广场所用时间为（时；
当乙到达广场时，得，
解得；
，
（分钟），
先到达广场并拍照的人是乙，且比另一位早到3分钟．
故答案为：乙，3．
22．（6分）如图，已知为的一边上一点，．
（1）如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点；
（2）在第（1）题的条件下，联结、，如果，求点到直线的距离．
解：（1）如图，点，点即为所求；
（2）过点作于点．
由题意，
，，
，
，
，
点到直线的距离为．
23．（8分）如图，已知△的三边满足，，，其中、都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）取边的中点，求证：．
【解答】证明：（1），，，其中、都是正整数，且，
，
，
，
△是以为斜边的直角三角形，
．
（2）．，
，
即，
又，
，
如图，作，垂足为，
，
为的中点，
点为的中点，
，
是线段的垂直平分线，
．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
（1）求双曲线的表达式；
（2）已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．
解：（1）直线过点，
．
，
点在双曲线上，
，
双曲线的表达式为；
（2）是双曲线上一点，且到轴的距离是12，
，
直线与直线交于点，与双曲线交于点，
，，
，
，
，
解得或舍去），
．
25．（12分）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明．
【研究老图形】在例题1的图中，分别联结、、．
（1）点为△三条 ② 的交点，点为△三条 的交点（填写序号）；
①边的垂直平分线
②角平分线
③高
④中线
（2）小普发现△和△的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么 ．（用含的代数式表示）
【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的△叫做△的“内三角形”，点叫做“共心”．（3）已知△是△的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．
解：（1）由题易得点是和的角平分线的交点，
点为△三条角平分线的交点，
，
为线段垂直平分线上的一点，同时也是线段、垂直平分线上的一点，
点为△三条边垂直平分线上的交点，
故答案为：②，①；
（2）如图，连接、，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（3）示意图如下，
，，
，
由（2）可知，
，
，
，
可得点在的垂直平分线上，
，，，
△△，
，，
可知是的垂直平分线，
点在直线上．
时间（时
0.1
0.3
距离（千米）
2
6
9
例题1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、．
求证：点在的平分线上．
证明 过点作，垂足为点．
、分别是、的平分线（已知）．
，（已知），
（所作），
，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
（等量代换）．
点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
D
C
B
时间（时
0.1
0.3
距离（千米）
2
6
9
例题1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、．
求证：点在的平分线上．
证明 过点作，垂足为点．
、分别是、的平分线（已知）．
，（已知），
（所作），
，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
（等量代换）．
点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．