2024-2025学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷 （含解析），共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列命题中，是真命题的是
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0
D．两边和一角对应相等的两个三角形全等
2．（3分）下列属于一元二次方程的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列各函数中，是的正比例函数的是
A．B．C．D．
4．（3分）下列条件中，能判断△是直角三角形的是
A．B．
C．D．，，
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为6，则的值为
A．1B．2C．3D．6
6．（3分）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为30，则小正方形边长为
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共12题。每题2分，共24分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．（2分）化简： ．
8．（2分）在实数范围内分解因式： ．
9．（2分）已知函数是正比例函数，则 ．
10．（2分）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ．
11．（2分）已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度．
12．（2分）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ．
13．（2分）在直角坐标平面内点与点的距离等于
14．（2分）函数中自变量的取值范围是 ．
15．（2分）如果函数，那么 ．
16．（2分）如图，在中，已知是的角平分线，点是内一点，且，，，那么 ．
17．（2分）如果点、点，都在函数的图象上，且，那么的取值范围是
18．（2分）已知点、分别是等边△边、上的动点，将△沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果△是直角三角形，且，那么的长是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分58分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）用配方法解方程：．
21．（6分）已知，并且与成正比例．与成反比例，当时，；当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）求时的函数值．
22．（6分）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得，联结，当时，求的度数．
23．（8分）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图象上的两点，联结．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标．
25．（10分）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图象与反比例函数图象在第一象限内的交点为点，过点作轴，垂足为点，．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点在直线上，如果△是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
26．（10分）已知在△中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，．
（1）如图1，当时，时，求的大小；
（2）当，时，
①如图2，连接，当，求的长；
②若，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．（3分）下列命题中，是真命题的是
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0
D．两边和一角对应相等的两个三角形全等
解：．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意；
．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意；
．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意；
．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意．
故选：．
2．（3分）下列属于一元二次方程的是
A．B．C．D．
解：．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
．方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
3．（3分）下列各函数中，是的正比例函数的是
A．B．C．D．
解：、，是正比例函数，故符合题意；
、，是二次函数，故不符合题意；
、，是一次函数但不是正比例函数，故不符合题意；
、，是反比例函数，故不符合题意；
故选：．
4．（3分）下列条件中，能判断△是直角三角形的是
A．B．
C．D．，，
解：、，可以判断△是直角三角形，符合题意；
、设三个角为，，，根据三角形内角和得，，最大角度为，不能判定△是直角三角形，不符合题意；
、无法确定具体角，不符合题意；
、，不能判定△是直角三角形，不符合题意；
故选：．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为6，则的值为
A．1B．2C．3D．6
解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，的面积的面积，
、在反比例函数的图象上，
的面积的面积，
的面积的面积四边形的面积，
，
的面积的面积，
；
故选：．
6．（3分）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为30，则小正方形边长为
A．2B．C．D．
解：由题意可知：中间小正方形的边长为，
每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为30，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（本大题共12题。每题2分，共24分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．（2分）化简： ．
解：由题意可知，，
，即；
故答案为：．
8．（2分）在实数范围内分解因式： ．
解：令，
△，
，
．
故答案为：．
9．（2分）已知函数是正比例函数，则 ．
解：根据题意可得：，
解得：．
故答案为：．
10．（2分）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 5 ．
解：一元二次方程的根的判别式的值为，
，
．
故答案为：5．
11．（2分）已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 30 度．
解：，
此三角形是直角三角形，2是斜边，
直角三角形的斜边等于一个直角边的一半，
它的最小角为．
故答案为：30．
12．（2分）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 12 ．
解：方程，
，
解得：或（舍去），
等腰直角三角形斜边上的高为6，即为斜边上的中线，
则这个直角三角形斜边的边长为12．
故答案为：12．
13．（2分）在直角坐标平面内点与点的距离等于
解：、，
点和点的距离．
故答案为：．
14．（2分）函数中自变量的取值范围是 ．
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
15．（2分）如果函数，那么 ．
解：函数，
．
故答案为：．
16．（2分）如图，在中，已知是的角平分线，点是内一点，且，，，那么 58 ．
解：，，，
，
，
，即，
，即，
，
是的角平分线，
，
．
故答案为：58．
17．（2分）如果点、点，都在函数的图象上，且，那么的取值范围是
解：点、点，都在函数的图象上，且，
，
，
故答案为：．
18．（2分）已知点、分别是等边△边、上的动点，将△沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果△是直角三角形，且，那么的长是 或 ．
解：如图1，△是直角三角形，且，
△是等边三角形，，
，
，
，
，
由翻折得，，
，，
，，
；
如图2，△是直角三角形，且，则，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分58分）
19．（5分）计算：．
解：
．
20．（5分）用配方法解方程：．
解：，
，
，
配方得：，
，
开方得：，
解得：，．
21．（6分）已知，并且与成正比例．与成反比例，当时，；当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）求时的函数值．
解：（1）与成正比例，与成反比例，
设，，
，
，
当时，；当时，，
，
解得：，
，
即关于的函数解析式为：；
（2）当时，
．
22．（6分）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得，联结，当时，求的度数．
解：，，点是边中点，
，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
即的度数为．
23．（8分）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【解答】（1）证明：在等边三角形中，
，
；
（2）解：，
，
．
，
．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图象上的两点，联结．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标．
解：（1）是反比例函数的图象上的点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）把代入得，，
，
设点的坐标为，
线段的垂直平分线交轴于点，
，
，
解得，
点的坐标为．
25．（10分）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图象与反比例函数图象在第一象限内的交点为点，过点作轴，垂足为点，．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点在直线上，如果△是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
解：（1），
点的纵坐标为3，
反比例函数的图象经过点，
当时，，
，，
将点，代入得，
正比例函数的解析式为；
（2）轴于点，设点的坐标为，，
在△中，，，
由勾股定理可得，
，
，
过点作于，
由题意得，
当点在上时，
则平分，
，
，
，；
当点在延长线上时，
同理可得，；
综上所述：，或，；
（3）①当时，
则，或，；
②当时，
由得，，
，；
③当时，
，
则平分，
，；
综上所述：，或，或，或，．
26．（10分）已知在△中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，．
（1）如图1，当时，时，求的大小；
（2）当，时，
①如图2，连接，当，求的长；
②若，求的长．
解：（1），，
，
，，
；
（2）①，，
，
，，
，，，，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
解得：（负根舍去）；
②如图，过作于，当在的右边时，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
而，，
△△，
，
当在的左边时，如图，
同理可得：，，，
，
综上：或．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
A
A
C
C