专题12 三角形中的重要模型之面积--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc18682" PAGEREF _Tc18682 \h 1
\l "_Tc20003" 模型1.等积变换基础模型 PAGEREF _Tc20003 \h 1
\l "_Tc31030" 模型2.蝴蝶（风筝）模型 PAGEREF _Tc31030 \h 9
\l "_Tc29507" 模型3.燕尾（定理）模型 PAGEREF _Tc29507 \h 13
\l "_Tc21115" 模型4.鸟头定理（共角定理）模型 PAGEREF _Tc21115 \h 18
\l "_Tc20266" 模型5.金字塔与沙漏模型 PAGEREF _Tc20266 \h 23
\l "_Tc17098" PAGEREF _Tc17098 \h 27
模型1.等积变换基础模型
模型1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当//，则； 反之，如果，则可知直线//。

图1 图2 图3
模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
证明：模型1）如图1，过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。∵//，∴AE=BF。
∵；；∴。反之同理可证。
模型2）如图2，过点A作AH⊥BC。
∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。
∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D是边上的点，且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
例2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，，分别是的边AB，CD上的点，与DE相交于点，与CE相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，则阴影部是的面积为 ．
例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ．
例4．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由，
【应用】如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ；
【拓展】（1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ．
（2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ．
例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线，，为直线上的点，，为直线上的点．如果，，为三个定点，点在直线上移动，那么无论点移动到何位置，与的面积始终相等，其理由是___．
应用：（1）如图，、、三点在同一条直线上，与都是等边三角形，连结，．若，，求的面积．（2）如图，已知，，，是矩形边上的点，且，，连结交于点，连结MC交于点，连结交于点，连结，若四边形的面积等于，求四边形的面积．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

1）任意四边形的蝴蝶定理：
如图1，结论：①或；②。
证明：由基础模型2）知：；；即故；即。
由基础模型2）知：；即。
2）梯形蝴蝶定理：
如图2，结论：①；②。
证明：∵四边形ABCD为梯形，∴AD//BC，∴易证，∴。
同理可证得：。
例1．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形中，和相交于点O，把、、、的面积分别记作、、、，则下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形中，，，如果对角线与相交于点O，、、、的面积分别记作、、、，那么下列结论中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．

例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积为 ．
例4．（2024·山西·校考一模）阅读与探究 请阅读下列材料，完成相应的任务：
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等．
例如，在图1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，，，，的面积分别为，则有，证明过程如下：
任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，，，的面积为，求证；（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，则四边形的面积为____________．

模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点。
结论：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。
证明：由基础模型2）知：；；故；
即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。
例1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：；
（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：；
（迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ．
例2．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】如图2，点D在的边上，点P在上．
若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由．
若，则：______．
(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______．
例3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的边上一点，连结，此时有结论，请解答下列问题：（1）当是边上的中点时，的面积 的面积（填“>”“