专题35 最值模型之费马点--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

这是一份专题35 最值模型之费马点--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)，文件包含2025年中考数学几何模型综合训练通用版专题35最值模型之费马点模型解读与提分精练教师版docx、2025年中考数学几何模型综合训练通用版专题35最值模型之费马点模型解读与提分精练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc13349" PAGEREF _Tc13349 \h 1
\l "_Tc23556" 模型1.费马点模型 PAGEREF _Tc23556 \h 1
\l "_Tc1556" 模型2.加权费马点模型 PAGEREF _Tc1556 \h 12
\l "_Tc15185" PAGEREF _Tc15185 \h 20
模型1.费马点模型
结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
图1 图2 图3
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）
证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ．

例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是边上一动点，将沿着翻折，使得点落在点处，矩形内有一动点连接则的最小值为 ．
例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，．
∵______，∴为等边三角形，∴，∴，
∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”．
任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______；
（3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由；
【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______．
例4．（2023春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里．
模型2.加权费马点模型
结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）
证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。
例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．

(1)求证：；(2)当的长度最大时，①求的长度；②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
例2．（2024·重庆·二模）已知中，点和点是平面内两点，连接，和，．
(1)如图1，若，，，求的长度；(2)如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：；(3)若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积．
例3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，，连接交于点F，交于点H．
(1)如图1，当点D为中点时，且，求的面积；(2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，在内部有一个动点P，连接、、，直接写出的最小值．
1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______．
2．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．
3.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ．
4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ．
​
5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C．D．
6．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为 ．
7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：
将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为．
请结合以上两材料求出的最小值

8．（2023上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：
【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边与等边共一个顶点时，无论怎么摆放可通过恒有．于是提出了如下问题．

【问题证明】（1）如图2，M是等腰内一点，N是等边内一点，且满足．求证：是等边三角形．
【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰内一点，当点M到三角形3个顶点的距离之和，即最小时，我们把M点称为等腰的“紫荆点”．若M是等腰的紫荆点，求．
完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）
解：如图3，令，分别是等腰，等边内一点，且满足∴
∵是等边三角形 ∴，
由 ① 可知：∴的最小值的最小值= ②
∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰的紫荆点
∴ ③ ； ④ ∴

【拓展提升】（3）甲同学发现等腰“紫荆点”的作法：如图5，已知，在AB的左侧作等边．连接，与的角平分线交于点M，点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？请说明理由．
9．（2024·陕西西安·二模）问题提出
(1)如图1，在等边内部有一点P，，，，则______．
问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，，，，，，．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且，．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由．
11．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：
（1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为________；

图1 图2 图3
迁移应用：（2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求证：；
拓展延伸：（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G．
①线段与的数量关系是________②连接，点P为内一点，连接．若，则的最小值为________．
12．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：

(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：；
(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值．
参考公式：
13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
14.（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至，①求证：；②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小.（2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.

15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
16．（2024·广东·一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．