初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）2 简单的轴对称图形教案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）2 简单的轴对称图形教案，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)
2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)
一、情境导入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
A
B
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于 12 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解．
解：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠C＝∠DEB＝90°，,DC＝DE，,∠FDC＝∠BDE，))∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90°.在△ADC和△ADE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CAD＝∠EAD，,∠ACD＝∠AED，,AD＝AD，))∴△ADC≌
△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．
【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )

A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×4×2＋eq \f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根据角平分线的性质，得出CE＝CF.
解：∵CD是∠ACG的平分线，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEC＝∠DFC＝90°，,∠ECD＝∠FCD，,DC＝DC，))
∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．
解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
(2)AD与BE垂直．理由如下：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE；
(3)∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.在△ABE和△DBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABE＝∠DBE，,∠BAE＝∠BDE，,BE＝BE，))∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
探究点二：角平分线的画法
如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于eq \f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺规作图知AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝eq \f(1,2)∠CAB＝30°.
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
三、板书设计
1．角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的作法
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练