新高考数学二轮复习数列专题练习数列与不等式问题（2份，原卷版+解析版）

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纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；
③比较方法：作差或者作商比较．
母题呈现
【典例】（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解题指导】第一步根据题目条件，求出数列的通项公式
第二步 根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项
相消法、错位相减法等)求和
第三步 利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围
第四步 反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤
【解析】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
【规范答题】已知求不要忽略情况
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
【易错提醒】恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论
所以.
方法总结
解决数列与不等式的综合问题时,若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最值问题来解决.
模拟训练
1．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）在数列中，，数列的前项和为，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，即可得到是首项为2，公比为4的等比数列，可求出，，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出答案
【详解】易得，则由两边除以可得，整理可得，
因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列，
所以，即，
数列的前项和为，
所以，
对于，，
则，当且仅当即时，取等号；
因为不等式对恒成立，所以，
故选：A
2．（2023秋·广东清远·高二统考期末）已知数列{an}的前n项和为，且满足，若存在实数λ，使不等式对任意n∈N*恒成立，则λ的最大值为（ ）
A．-24B．-18C．-D．-
【答案】A
【分析】先通过递推公式求出的通项公式，再通过与的关系求出的通项公式，代入不等式即可表达出关于的表达式，再利用作差法即可求出的最大值.
【详解】因为，所以．因为，
所以{}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以（n=1也满足）．
因为，所以，
即．令，
==，
所以，
所以，
故λ的最大值为．
故选：A.
3．（多选题）（2023·安徽合肥·统考一模）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BC
【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果.
【详解】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当为奇数时，恒成立，所以，即；
当为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是.
故选：BC
4．（多选题）（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ABC
【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的.
【详解】①
②
②①得，
，当时，，当时，，满足上式，
故，
，
故，
，
故.
故选：ABC.
5．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列前项和为，对任意的，都满足，若对均成立，则实数的取值范围是__．
【答案】
【分析】已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前项和公式求出等比数列的公比，即可得，最后利用对勾函数的性质可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得公比，又，所以恒成立，所以，
此时，所以，
即对任意恒成立，
若，因为，则足够大时，，不合题意，
所以，
此时，，
令，则原式化为恒成立，
所以恒成立，因为，所以．
故答案为：.
6．（2023·广东肇庆·统考二模）已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为.求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；
（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.
【详解】（1）由题可得，
故.
（2）且，
则
于是
.
7．（2023·四川内江·统考一模）数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把递推关系式里的换成得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.
(2)裂项相消求和，然后求和的范围.
【详解】（1）当时，
①
②
②减①得：
经检验也符合
综上：
（2）
又因为，又因为恒成立，即或
所以的范围为
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）代入，将条件化为，从而得到是常数列，进而得到是等差数列，由此利用等差数列的前项和公式即可得解；
（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证.
【详解】（1）因为，，
所以，则，
又，
所以是首项为的常数列，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，，所以，，则，
因为，
所以当时，，所以；
假设当时，有，
则当时，，
因为，
所以要证，需证，
即证，
当时，，，则，
假设当时，有，
则当时，，
因为，所以，
所以，
综上：成立，
所以成立，
综上：恒成立.
9．（2023·贵州·校联考一模）已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．
【答案】(1)（）；(2)5
【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.
（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.
【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，
则由题意得：，即，解得：或，
因为数列是递增的等比数列，所以，即，，
所以，
故数列的通项公式为（）.
（2）由（1）得：（），
则
，①
即，②
则得：
即（），
所以（），
设，则（），
因为在上单调递减，
所以是单调递减数列，
又有，，
所以当且时，成立，
故使成立的最大正整数的值为.
10．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数，其中
(1)当时，求；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数.
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得；
（2）先利用裂项相消法求得数列的前n项和，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数
【详解】（1）由，可得
则当时，
（2）由（1）可得，当时，
则当时，
，
则当时，数列的前n项和
又当时，，，
由恒成立，可得，解之得
则当时，使得恒成立的m的最小整数为2
当时，成立，
综上，使得恒成立的m的最小整数为2
第一列
第二列
第三列
第一行
4
5
11
第二行
3
10
9
第三行
8
7
6