新高考数学二轮复习数列专题练习数列中的结构不良问题（2份，原卷版+解析版）

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2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算．可以从两方面思考：
①从题目给出的条件，边角关系来选择；
②从式子结构来选择．
母题呈现
【典例】（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，，成等差数列，且；②，且；③（为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为，，___________，其中.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【解题指导】（1）若选①：等差数列定义列方程→得→求的值→得的通项公式
若选②：递推关系式→是等比数列→的通项公式
若选③：→→相减得是等比数列→的通项公式
（2）求的通项→的通项→错位相减求.
【解析】（1）若选条件①：因为，，成等差数列，
所以，即，所以，
又，，所以，即，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以；
【规范答题】要明确数列的首项及公比
若选条件②：由，得，
即，所以，
因为，所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以；
若选条件③：因为，
所以时，，
两式相减并整理，得，即，又；
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）知：，
所以，
所以，
所以，
所以，
两式相减，得
，
【规范答题】在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
所以
方法总结
数列中开放问题的解题策略
(1)先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.
(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.
模拟训练
1．（2023·陕西西安·统考一模）已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为
若选择条件①，则由，
得，解得，
；
若选择条件②，则由，
得，解得，
；
若选择条件③，则由，
得，解得，
；
（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，
则，
的前n项和
2．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知数列的前项之积为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.
请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据当时，计算并检验成立即可得答案；
（2）根据等差数列基本计算得，进而，再分组求和即可.
【详解】（1）解：当 时，
当时，
综上，；
（2）解：若选①，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得
所以，，
所以，，
所以，
所以，
若选②，
设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，所以，解得
所以，，
所以，，
所以，
所以，
3．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.
问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且______.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；
（2）根据错位相减法计算求解即可.
【详解】（1）解：若选①，则，，故不能选①，
若选②：依题意可得，解得
故．
（2）解：由（1）知，，
则，
所以，
所以
，
故．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程
问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和
【答案】(1)条件选择见解析，；(2)
【分析】（1）分别选①，②，利用基本量代换列方程组，求出公差，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法求解.
【详解】（1）选①：设的通项公式为.
因为，，
所以，解得：，所以；
选②：依题意可得解得
故
（2）由（）知，，
则，
所以，
所以
，
故
5．（2023·云南玉溪·统考一模）在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，， ．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，设的前n项和为，求证：．
【答案】(1)选①， ；选②， ；(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量代入方程组求解即可.
（2）运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意知，，，，
选①，由题意知，，
，
所以，，即：，.
选②，由题意知，，
,
所以，，即：，.
（2）证明：由（1）得，
∴①，
②，
①②得：，
∴．
又∵对，恒成立，
∴．
6．（2023·全国·模拟预测）在①；②；③，当时，为常数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，，且______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数k的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；(2)8
【分析】（1）若选①，通过降次作差得，则，求出的值并检验，则可得到的通项公式，若选②，通过移项整理得，则，则可得到的通项公式，若选③，由题得，降次作差得，计算的值，则可得到的通项公式.
（2），利用裂项相消法得，则有，解出即可.
【详解】（1）选条件①.
由当时，，得当时，，
两式相减，得，
所以，因为，
所以.（注意条件“”）
在中，令，得，
即，解得（舍去）或，
所以，符合，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以.
选条件②.
由当时，，得，
所以，
因式分解得，因为，所以，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以.
选条件③.
因为当时，为常数列，所以，
所以当时，，
两式相减得，
故，
因为，，所以，，
所以是首项为2，公差为1的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，
所以.
则由，得，
整理得，
解得（舍去）或.（k为正整数）
故正整数k的值为8.
7．（2023·福建漳州·统考二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根据等差数列的通项公式与前和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可求出通项公式；
(2)由(1)得，再利用分组求和法即可求得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
若选择条件①，
由题可得，解得，
若选择条件②，
由题可得，解得，
.
（2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有，
则，
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，， ，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)条件选择见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，利用前n项积的意义求解作答.
（2）选择条件①②，结合等差数列求出的通项，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）因为数列的前n项之积为，则当时，，
而当时，满足上式，
所以数列的通项公式是．
（2）选①，，设等差数列的公差为d，而，则，又，解得，
因此，，
则
于是得
两式相减得，
所以．
选②，，而数列是等差数列，则，即，又，则公差，
因此，，
则
于是得
两式相减得，
所以．
9．（2023·江苏泰州·统考一模）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【答案】(1)选①②，①③或②③均可得；(2)
【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；
（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）若选①②，设公差为，
则，
解得：，
；
选①③，设公差为，
，
解得：，
；
选②③，设公差为，
，
解得：，
；
（2），
.
10．（2023·四川成都·统考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足______（从①；②，，成等比数列；③这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由①可得，由②可得，由③可得，选择①②､①③､②③条件组合，均得，，即得解析式；
（2）可得，由裂项相消法求出即可.
【详解】（1）①由，得，即；
②由，，成等比数列，得，，即；
③由，得，即；
选择①②､①③､②③条件组合，均得，，
故.
（2）
∴
.