新高考数学二轮复习立体几何专题练习立体几何中的空间距离（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习立体几何专题练习立体几何中的空间距离（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习立体几何专题练习立体几何中的空间距离原卷版doc、新高考数学二轮复习立体几何专题练习立体几何中的空间距离解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
1．点到直线的距离
设eq \(AP,\s\up7(―→))＝a，则向量eq \(AP,\s\up7(―→))在直线l上的投影向量eq \(AQ,\s\up7(―→))＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(|eq \(AP,\s\up7(―→))|2－|eq \(AQ,\s\up7(―→))|2)＝ eq \r(a2－a·u2)．
2．点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，
交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq \(AP,\s\up7(―→))在直线l上的投影向量eq \(QP,\s\up7(―→))的长度．因此PQ＝eq \f(|eq \(AP,\s\up7(―→))·n|,|n|)．
母题呈现
【典例】如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离．
【解析】如图，设DE的中点为O，BC的中点为F，连接OP，OF，OB，
因为平面PDE⊥平面BCDE，
平面PDE∩平面BCDE＝DE，
所以OP⊥平面BCDE.
因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点，
所以DE∥BC.
因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
又OF⊥DE，
所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\r(3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\r(3)，0))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\r(3)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(3)，0))，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\r(3)，－\r(3)))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0，0)).
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PB,\s\up6(→))＝2x＋\r(3)y－\r(3)z＝0，,n·\(CB,\s\up6(→))＝4x＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝z，))
令y＝z＝1，所以n＝(0,1,1)．因为eq \(OF,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，0)，
设点O到平面PBC的距离为d，则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OF,\s\up6(→))·n)),|n|)＝eq \f(\r(3),\r(2))＝eq \f(\r(6),2).
因为点O在直线DE上，所以直线DE到平面PBC的距离等于eq \f(\r(6),2).
【解题技法】求点面距常见的三种方法
(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
(2)等体积法；
(3)向量法．
其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
【跟踪训练】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【解析】（1）证明：由题知，
因为，所以，
又，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，为中点，于是，
又，所以平面
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以，所以平面，
于是两两垂直
如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系
则
所以
设平面的法向量为，
则，即
令，则
于是
设，则
由于直线与平面所成角的正弦值为
于是，即，整理得，由于，所以
于是
设点到平面的距离为
则
所以点到平面的距离为
方法总结
(1)向量法求点到直线距离的步骤
①根据图形求出直线的单位方向向量v.
②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量eq \(MN,\s\up6(→)).
③垂线段长度d＝eq \r(\(MN,\s\up6(→))2－（\(MN,\s\up6(→))·v）2).
(2)求点到平面的距离的常用方法
①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
③等体积法.
④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).
模拟训练
1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．
(1)求证：；
(2)当为中点时，求点到平面的距离；
【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标关系求解点到平面的距离即可.
【详解】（1）证明：因为矩形，所以，
平面，平面，
所以平面．
因为过的平面交平面于，
由线面平行性质定理，得；
（2）解：由平面平面其交线为，平面，
所以平面，
又四边形为矩形，所以以为原点，以为轴建立如图空间直角坐标系．
由，，得，，，
则，
设平面法向量，
则，取得．
因为，所以点到平面的距离.
2．（2023·河南焦作·统考一模）在如图所示的六面体中，平面平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)若AC，BC，两两互相垂直，，，求点A到平面的距离．
【分析】（1）取的中点，的中点，连，，，利用面面平行的性质定理推出，再利用线面平行的判定定理可证结论成立；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据点到面的距离的向量公式可求出结果.
【详解】（1）取的中点，的中点，连，，，
在六面体中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
同理可得，
因为分别是，的中点，且，，
所以，，，，
所以四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
所以，，又已知，所以，则共面，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
又分别是，的中点，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为AC，BC，两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：
则，，设，则，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，取，则，，
所以点A到平面的距离为.
3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.
(1)证明：；
(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.
【分析】（1）取的中点为，先证明平面，进而证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得点E到平面PAM的距离.
【详解】（1）取的中点为，连，，因为，则；
又为棱的中点，则为△的中位线，所以，
因为，则，则；
由于，平面，平面，
则平面，因为平面，所以.
.
（2）由（1）得，且平面平面，平面平面，平面，
则平面，又，
则以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，则，则，
则，，，，
因为，则，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，令，则，，得，
又设点到平面的距离为d，
则，
则点到平面的距离为.
.
4．（2023·上海·统考模拟预测）已知三棱锥中，平面，，M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F．
(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)证明：平面，并求直线到平面的距离．
【分析】（1）因为平面，，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案；
（2）由面面平行的性质定理可证得平面，再证明平面，即可求出答案.
【详解】（1）因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，设平面，
设直线与平面所成角为，
则.
直线与平面所成角的大小为
（2）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
同理，M为中点，
所以分别为的中点，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，所以，
，平面，
所以平面，又因为平面，
直线到平面的距离为.
5．（2022·浙江·模拟预测）已知长方体，，，，P，Q，R分别为AB，，的中点.
(1)证明：；
(2)求到平面的距离.
【分析】（1）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后证明即可；
（2）算出平面的法向量即可求解.
【详解】（1）
以为原点，所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，，
所以，，
所以，即；
（2），，
设平面的法向量为，
则，可得，
所以可取，
因为，
所以求到平面的距离为.
6．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.
(1)证明：；
(2)求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离.
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面夹角的大小；
（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．
【详解】（1）证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）
依题意，可得，，，，
，，
，
即，；
（2）解：设为平面PAM的法向量，
则，即，
取，得，
取，显然为平面ABCD的一个法向量，
⟨⟩，
故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为；
（3）解：设点D到平面AMP的距离为d，
由可知与平面PAM垂直，
则，
即点D到平面AMP的距离为
7．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件可证平面，即可得到；
（2）以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；
（3）假设存在满足条件的点E，并，利用向量的加减运算，求出，利用线面夹角公式得出，求得，即可求出的长.
【详解】（1）证明：由点在底面ABC上的投影为AC的中点，知平面ABC，
又平面ABC，故，
因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故，
而，平面，，故平面，
由平面，得．
（2）由点，为AC的中点，侧面为菱形，知，
由是以AC为斜边的等腰直角三角形，，可得，，
由（1）知直线，，两两垂直，故以点为坐标原点，
直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，故点到平面的距离为：
（3）假设存在满足条件的点E，并，
则，
于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，
可得，
即，解得．
又，故．
因此存在满足条件的点，且．
8．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.
【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，证明，利用面，证明面，从而面面；
（2）建立平面直角坐标系，设，利用二面角确定M点位置，结合点到平面距离向量公式得到结果.．
【详解】（1）
证明：取的中点，连接交于，连接，，
因为是菱形，所以，且是的中点，
所以且，又，，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以，
又因为，，
所以平面，所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）∵，平面，∴平面，且，
∴以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
设在棱上存在点使得平面与平面的夹角余弦值为，
，，，，，，，0，，，，，，0，，，，
则设，0，，，，，
所以，，，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，，
得，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，取，得，，，
，解得，
此时，∴，
∴点到平面的距离.
9．（2022·青海·校联考模拟预测）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．
(1)证明：平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
【详解】（1）延长EG交AB于N，连接NC,
因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且 ,
因为 ,故 ,所以 ,
故，故 ,
而平面ABC，平面ABC,
故平面ABC；
（2）由题意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC， ,
平面BCDE， 故平面ABC, 平面ABC,
则 ,同理，
又平面BCDE,
所以平面BCDE，
以C为原点，以CB,CD,CA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设点G到平面BCDE的距离为 ，
则 ，
故 ,
设平面GCE的法向量为 ，则，即，
取，则即，
设平面ADE的法向量为 ，则，即，
取 ，则，则，
所以，解得 ，
又，
故点G到平面ADE的距离为.
10．（2022·广东茂名·统考模拟预测）某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．
【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，用向量法求与平面所成角的正弦值；
（2）假设存在这样的点P，设，由和联立解出，即可求解．
【详解】（1）（1）由长方体可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，.所以.
设平面的一个法向量为，
则有，即，令，则，，故，
所以，故与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知，，，所以，假设存在这样的点P，设，由题意可知，所以，因为，则有，所以，又，所以，解得（舍），，所以当时，，此时点到直线的距离为．