新高考数学二轮复习大题练习专题04 概率统计大题综合（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题
1．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
(1)请写出该试验的样本空间;
(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;
(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.
2．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
3．（2023·云南昭通·校考模拟预测）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如：区间的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
4．（2023·云南保山·统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.
(1)估计该味中药的最佳用量与功效；
(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.
5．（2023·云南红河·校考模拟预测）为了了解某城市70后和80后市民每周的体育锻炼时长情况，随机抽取了200人进行调查，并按年龄段及周平均体育锻炼时间是否少于7小时，将调查结果整理成列联表，统计得出样本中周平均体有锻炼时间少于7小时的人数占，70后的样本人数占样本总数的，80后每周平均体育最炼时间不少于7小时的样本有60人．（70后指1970年至1979年出生的人构成的群体，80后指1980年至1989年出生的人构成的群体）
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析周平均体育锻炼时间长短与年龄段是否有关联；
(2)现从70后的样本中按周平均体育锻炼时间是否少于7小时，用分层抽样的方法抽取6人做进一步访谈，然后从这6人中随机抽取3人进行体检，记抽取的3人中周平均体育锻炼时间不少于7小时的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
7．（2023·云南红河·统考一模）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
8．（2023·云南昆明·校联考一模）2002年8月国家通过修订《中华人民共和国水法》来保护水资源，加强人们保护水资源，防治水污染，节约用水等意识.小明为了了解本市市民保护水资源，节约用水意识是否落地，随机抽取了300名市民进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这300名市民评分的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从评分在和的市民中抽取5人，然后再从抽出的这5位市民中任意选取2人作进一步访谈：
①写出这个试验的样本空间；
②求这2人中至少有1人的评分在的概率.
9．（2023·云南·统考二模）某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的200名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：
根据上述信息，解决下列问题：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
(2)现从被调查的200名观众中，随机依次抽取2人作为幸运观众（注：第一次先从200名观众中随机抽取1名，第二次再从剩下的199名观众中随机抽取1名）．求在第一次抽到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率．
附：，其中．
10．（2023·云南昭通·统考模拟预测）为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.
(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？
附：，.
11．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某商场周年庆期间举行了一场抽奖活动，该商场在宣传时对外宣称他们的抽奖活动中奖率为90%，现从抽奖的顾客中随机抽取10人，计中奖的人数为X．
(1)若，从这10人中随机抽取3人进行采访，设被抽中的中奖人数为Y，求Y的分布列和数学期望；
(2)若，你是否怀疑商场的宣传？并说明理由，[附：，，，，，．]
12．（2023·云南·校联考二模）《密室逃脱》是一款实景逃脱类游戏，参与者被困在房间内，需要根据提示寻找线索，在规定时间内依次打开每一扇房门则游戏完成，否则失败．一密室店主统计了400个顾客参与主题密室逃脱的时间，得到顾客完成逃脱用时的频率分布直方图如图：
(1)若顾客用时均值大于60分钟，且标准差小于10分钟，则认为该主题密室逃脱成功难度大．请判断主题的成功难度；（参考数据：方差）
(2)店主计划至少的顾客能在规定时间m分钟内完成逃脱，试计算m；（四舍五入保留到个位）
(3)为吸引顾客，该店推出如下游戏规则：
①在（2）的条件下，参加单人任务，在规定时间m分钟内完成则奖励1元；
②组团参与者可购买一份10元组团券，3人同时进入主题的不同房间，若60分钟内所有人完成逃脱，则每人可获10元奖励，2人完成逃脱，则每人可获7元奖励，1人完成逃脱，则每人可获3元奖励．用频率估计概率，若你是顾客，会选择哪种方案？
13．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）阅读对人的成长影响是巨大的，一个人的精神发展史，在一定意义上就是他本人的阅读史，而一个民族的精神境界，在很大程度上取决于全民族的阅读水平，为了倡导全民阅读，1995年，联合国教科文组织宣布，每年的4月23日为“世界读书日”，在今年的“世界读书日”来临之际，某书店为了了解市民阅读情况，在某小区随机抽取了40名居民，将他们的年龄分成7段：､，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这40名居民中年龄不低于70岁的人数；
(2)①若从样本中年龄在40岁及以上的居民中任取4名赠送图书，求这4名居民中至少有1人年龄不低于70岁的概率；
②该书店采用抽奖方式来提升购书意愿，将某特定书籍售价提高10元，且允许购买此特定书籍的居民抽奖3次.规定中奖1次､2次､3次分别奖现金元､元､元，且居民每次中奖的概率均为.若要使抽奖方案对该书店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位数）
14．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人．
(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率．
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响．记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．
15．（2023·云南昭通·校考模拟预测）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2.
（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；
（ii）若，证明：.
16．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．
17．（2023·云南·统考模拟预测）足球运动，最早的起源在中国.在春秋战国时期，就出现了“蹴鞠”或名“塌鞠”某足球俱乐部随机调查了该地区100位足球爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区足球爱好者的平均年龄：（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计该地区足球爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区足球爱好者占比为，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的，从该地区任选1人，若此人的年龄位于区间，求此人是足球爱好者的概率.
18．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.
19．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
20．（2023·云南玉溪·统考一模）某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p，，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
21．（2023·云南·统考一模）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1)若，求的数学期望；
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．
22．（2023·云南·统考模拟预测）党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？
(2)为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
附：
23．（2023·云南昆明·统考一模）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下：
记年份代码为
(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；
(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．
参考数据：
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
24．（2023·云南红河·统考二模）某市教育行政部门为开展普及法律常识的宣传教育活动，增强学生的法律意识，提高自身保护能力，在全市中小学生范围内，组织了一次法律常识知识竞赛（满分100分），现从所有参赛学生的竞赛成绩中随机抽取200份，经统计，这200份成绩全部介于之间，将数据按照，，……，分成七组，得到如下频数分布表：
(1)试估计该市竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第80百分位数（保留一位小数）；
(2)以样本频率值作为概率的估计值，若从该市所有参与竞赛的学生中，随机抽取3名学生进行座谈，设抽到60分及以上的学生人数为，求的分布列和数学期望．
25．（2023·云南·校联考模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求抽出3人中男性员工人数的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
分组
频数
4
25
30
29
10
2
合计
100
时间
年龄段
少于7小时
不少于7小时
合计
70后
80后
60
合计
200
0.1
0.05
0.01
0.05
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
合计
喜欢
15
30
45
不喜欢
85
70
155
合计
100
100
200
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
喜欢
不喜欢
合计
男同学
女同学
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36
A商场
B商场
C商场
D商场
购讲该型冰箱数x
3
4
5
6
销售该型冰箱数y
2.5
3
4
4.5
不了解
了解
女职工
30
70
男职工
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
34
55
979
657
2805
竞赛成绩
（单位：分）
人数
（单位：人）
6
14
30
74
42
23
11