新高考数学二轮复习多选题高频考点讲练专题09 圆锥曲线（2份，原卷版+解析版）

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一、典例分析
【典例1】1．已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆相交所得的弦长为4
B．的最大值为
C．的面积的最大值为2
D．当最大时，的面积为1
【典例2】2．已知椭圆分别为椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若为直角三角形，则这样的点有4个
C．直线与直线的斜率乘积为定值
D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
【典例3】 3．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（ ）
A．向量在上的投影向量为
B．若为直角三角形，则为等轴双曲线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
【典例4】 4．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为
C．
【典例详解】
【典例1】【分析】由圆的方程得圆C是以为圆心，以2为半径的圆，根据圆上点与两定点及直线MN的位置关系，分析选项正误.
【详解】圆C：，即，所以圆C是以为圆心，以2为半径的圆.
对于A，直线MN的方程为，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确；
对于B，，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则，因为直线MN过圆心，所以当时，最大为 ，故C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，最大，不妨设，此时，故D项正确.
故选：ABD.
【典例2】【分析】根据焦点三角形的性质以及余弦定理可得在椭圆的上下顶点处，最小，最大，进而可判断AB,由斜率公式可判断C，根据三角换元可判断D.
【详解】设椭圆上任意一点为，则， ，
由余弦定理得
，当且仅当 等号成立，此时在椭圆的上下顶点处，最小，最大，
对于A,当在椭圆的上下顶点时，，故不存在点，使得，故A错误，
对于B, 当在椭圆的上下顶点时，的最小值为，此时为钝角，根据椭圆的对称性可知：当为直角时，此时有4个满足位置的点，当为直角时，满足条件的有2个，同理为直角时，也有2个满足条件的，故当为直角三角形时，有8个满足满足条件的，故B错误，（AB错误，则CD必然正确）
对于C，,所以,故C正确，
对于D，设不妨设是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为，故当 时， 在椭圆上，此时周长最大为8，当时，此时，此时在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为，故D正确，
故选：CD
【典例3】【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D.
【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,
Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确；
对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，，
为等轴双曲线，故B正确；
对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，，
，，，，故C错误；
对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，，
，在双曲线上，，，，
的渐近线方程为，即，故D正确.
故选：ABD
【典例4】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件可判断AB，设直线的方程，与抛物线联立利用韦达定理法可得以为直径的圆与准线相切进而可判断C，根据圆的弦长公式求出的表达式可判断D，
【详解】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，
设，则的中点，
对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，所以A正确；
对于B，因为抛物线上的点到的距离为2，所以，得，则抛物线的方程为，所以B错误；
对于C，设直线的方程为，则的中点，
由，得，
所以，
所以，
所以，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到准线的距离为，即以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，
所以为切点，，，故C正确；
对于D，，所以当时，取得最小值，所以D错误.
故选：AC.
二、考点梳理
1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
2.椭圆的简单几何性质
3.双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
（3）说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
4.双曲线的简单几何性质
5.等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
6.抛物线的定义
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
（2）抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
7.抛物线的简单几何性质
8.直线和抛物线
（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
（2）抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
三、专项突破训练
题型一：直线与圆
1．已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．直线与圆始终有两个交点
C．若，则圆与圆相离
D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
2．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，则（ ）
A．曲线围成的图形的周长是
B．曲线上的任意两点间的距离不超过4
C．曲线围成的图形的面积是
D．若是曲线上任意一点，则的最小值是
3．已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．若是圆的一条直径，则的最小值为
D．直线恒过定点
4．已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（ ）
A．与关于直线对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线或直线上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
5．已知圆，点在直线上，若在圆上存在一点，使得，则满足条件的的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．
6．已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
7．在平面直角坐标系中，，，点满足，记动点的轨迹为曲线，直线：，，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线的周长为
B．直线与曲线的位置关系无法确定
C．的最大值为3
D．若直线与曲线相交，其弦长为4，则
8．已知圆C：与圆，P，Q分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．过点（2，1）作圆M的切线有且仅有一条
B．存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线
C．若圆C和圆M恰有3条公切线，则
D．若的最小值为1，则
9．已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
10．如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．点A的轨迹是一个圆
B．的最大值为
C．当三点不共线时，面积的最大值为2
D．的最小值为
题型二：椭圆
11．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为
B．存在点N，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
13．已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．过作圆切线的斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D．的最小值为
14．已知为坐标原点，椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点，（在第一象限），，P为轴上一点，，面积的最大值为1，且直线与椭圆的另一个交点为，则当的面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．B．点为椭圆的右焦点
C．D．的面积为
15．已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当时，的周长为
B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合）
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
16．已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（ ）
A．当为上一点时,的面积为9
B．当为上一点时,的值可以为
C．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于
D．当点在的外部时,在上必存在点,使得
17．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为D．长方形R的面积的最大值为
18．已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（ ）
A．的最大值是
B．当时，
C．当，在轴的同侧时，的最大值为
D．当，在轴的异侧时（，与不重合），
19．已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线与椭圆C无公共点
C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足
D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则
20．设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8B．的面积最大值为
C．的最小值为8D．存在直线l使得的重心为
题型三：双曲线
21．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（ ）
A．，B．
C．的离心率等于D．的渐近线方程为
22．已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
23．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（ ）
A．B．的渐近线方程为
C．矩形的面积为D．的斜率为
24．已知、分别为双曲线的左右焦点，过C右支上一点作直线l交y轴于，交x轴于点M，则（ ）
A．C的离心率B．点M的坐标为
C．l与C相切D．四边形面积的最小值为4
25．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若是双曲线上的动点，则满足的点共有两个
C．
D．内切圆的半径为
26．设双曲线的焦距为，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则（ ）
A．E的一条渐近线的斜率为
B．
C．（，分别为直线OM，PQ的斜率）
D．若，则恒成立
27．双曲线具有如下光学性质：如图1，，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．点到的渐近线的距离为
C．当过点，光由所经过的路程为13
D．射线所在直线的斜率为，则
28．已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，过作圆的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则双曲线C的渐近线方程为
C．若，则双曲线C的离心率是
D．若M是的中点，则双曲线C的离心率是
29．已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为D．的最大值为
30．已知点集，且P，，，点是坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．点集表示的图形关于轴对称
B．存在点和点，使得
C．若直线PQ经过点，则|的最小值为2
D．若直线PQ经过点，且的面积为，则直线PQ的方程为
题型四：抛物线
31．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为4
B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为
D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2
32．过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
33．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为
C．
D．的最小值为
34．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为
B．
C．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为
D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为
35．已知O为坐标原点，抛物线的准线方程为，过焦点F的直线l与C交于P，Q两点，线段PQ的中点为D，以PQ为直径的圆与x轴交于M，N两点，则（ ）．
A．C的方程为B．面积的最小值为p
C．的最大值为D．当时，直线l的斜率为
36．抛物线的焦点为，准线为，经过上的点作的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为，则（ ）
A．B．为中点
C．四边形是菱形D．若，则
37．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作不垂直于轴的直线与交于，两点．设为轴上一动点，为的中点，且，则（ ）
A．抛物线的方程为B．的最小值为
C．D．
38．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（ ）
A．若，那么
B．若，则线段的中点到轴的距离为
C．若是以为直角顶点的等腰三角形，则
D．若，则直线的斜率为
39．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
40．已知抛物线（p＞0）的焦点为F，斜率为的直线过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为B．
C．D．
四、答案速览
一、典例分析
二、考点梳理
三、专项突破训练
（1）直线与圆（★★★★）
（2）椭圆（★★★★★）
（3）双曲线（★★★★★）
（4）抛物线（★★★★★）
四、答案速览
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
1．BC
2．ACD
3．ABD
4．ACD
5．ACD
6．AD
7．AC
8．BC
9．ACD
10．ABC
11．ABD
12．AC
13．ABD
14．AD
15．ABD
16．ACD
17．ACD
18．ABC
19．AC
20．ACD
21．BCD
22．AD
23．AD
24．ACD
25．ACD
26．ABC
27．BD
28．ABD
29．BD
30．ACD
31．AD
32．BC
33．AC
34．BC
35．BCD
36．BCD
37．BD
38．BCD
39．ABD
40．ABD