新高考数学二轮复习解析几何专项练习专题07 焦长与焦比体系之椭圆（2份，原卷版+解析版）

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焦长公式：A是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．
体面积：，．
证明：（1）如图所示，，故；
（2）设由余弦定理得
；整理得 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理：；整理得 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①+ = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②得，则过焦点的弦长： = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，，令，即 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④，代入焦长公式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①可得 = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤．
注意：焦长和焦比体系当中，一切源于焦长公式的推导，所以掌握焦长公式成为了重中之重，在解答题中要有必要的证明过程，除了本文给到的余弦定理外，还可以用圆锥曲线的极坐标方程快速证明，这个问题大家可以自己去掌握，由于极坐标方程在未来高考中的不确定性，本文不给出详细证明过程．
例1．(1)、（2023·山东淄博·统考一模）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2)、（2022·安徽·芜湖一中一模（理））设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】、（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上且位于第一象限，满足，的平分线与相交于点B，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】、（2022·江苏泰州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为.若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例2．（1）、（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
（2）、（2019·全国·高考模拟（文））已知点为椭圆的左焦点，直线与相交于两点（其中在第一象限），若，，则的离心率的最大值是____．
【变式训练2-1】、（2019·浙江湖州·一模）已知椭圆的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是__________．
【变式训练2-2】、（2021·四川雅安·模拟预测（文））已知直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，交椭圆C于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·安徽宿州·统考一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.
【变式训练3-1】、（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为．
(1)设M是C上任意一点，M到直线的距离为d，证明：为定值．
(2)过点且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且，，O为坐标原点，证明：．
1．（2022·四川雅安·统考一模）已知椭圆C：的左焦点为，直线与C交于点M，N.若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西南昌·一模（文））已知，，分别是椭圆的左焦点､右焦点､上顶点，连接并延长交于点，若为等腰三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽·高二开学考试）已知椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长为16，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，C，D分别为线段，的中点，的周长为4，当A为椭圆E的上顶点时，，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·四川广安·统考模拟预测）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·四川绵阳·二模（理））已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江西萍乡·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·四川广安·一模（理））已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·广东·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·四川资阳·二模（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·云南昆明·模拟预测（文））已知是椭圆的上顶点，是的右焦点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
13．（2021·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（ ）
A．存在某个位置,使
B．存在某个位置,使二面角的平面角为
C．对任意位置，都有平面
D．异面直线与所成角的取值范围是
14．（2022·江西南昌·统考三模）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
15．（2021·四川达州·二模（理））已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
16．（2021·河北秦皇岛·二模）椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南株洲·统考一模）已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为__________．
18．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于_________.
19．（2021·广东广州·二模）已如椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为________．
20．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则______．
21．（2016·上海·统考二模）已知，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为，则__________．
22．（2021·全国·模拟预测）已知点在椭圆上，若，分别为椭圆的左､右焦点，O为坐标原点且，则椭圆C的离心率为___________.
23．（2018·江西分宜·一模（文））已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的周长的最大值为____________ .
24．（2013·福建·高考真题（理））椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____
25．（2009·重庆·高考真题（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
26．（2022·广东·统考三模）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得，写出C的一个标准方程：___________.
27．（2011·全国·高考真题（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．
28．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．
29．（2021·江苏·高二专题练习）已知是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于两点，若，则斜率的值为______．
30．（2019·浙江嘉兴·高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________
31．（2020·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
32．（2021·江西·上高二中校考模拟预测）已知椭圆：(，)的右焦点为，点在椭圆上，直线与圆：相切于点，若，则的离心率为___________.
33．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
34．（2022·广东·红岭中学高二期末）已知椭圆，其焦点为，，离心率为，若点满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的重心满足：，求实数的取值范围.
35．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
36．（2023·河南郑州·统考一模）已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当过点P（0，2）的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A，B时，求的取值范围．
37．（2023·江西上饶·统考一模）已知椭圆的离心率为，焦距为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的动直线与椭圆交于、两点（点在轴上方），、为椭圆的左、右顶点，直线，与轴分别交于点、，为坐标原点，求的值．