新高考数学二轮复习数列专项练习专题07 数列求和-错位相减、裂项相消（2份，原卷版+解析版）

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错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列(即)的前项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通项的积.
公式秒杀:
(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
【经典例题1】设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【经典例题2】已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【练习1】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【练习2】已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【练习3】已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【练习4】已知数列满足，（）.
(1)求证数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8)
(9)
(10) .
(11)
(12)
【经典例题1】已知正项数列中，，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【经典例题2】数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．
【经典例题3】已知数列的前项和为，若，则数列的前项和为________．
【练习1】数列的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
【练习2】数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
【练习3】_______.
【练习4】设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【练习5】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
【练习6】已知数列中，．
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【练习7】记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前20项和.
【练习8】已知等差数列满足，，（）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前n项和为，求．
【练习9】已知正项数列的前项和为，且、、成等比数列，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【练习10】已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【过关检测】
一、单选题
1． （ ）
A．B．C．D．
2．数列的前n项和等于（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
4．已知等差数列，，，则数列的前8项和为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
8．等差数列中，，设，则数列的前61项和为（ ）
A．B．7C．D．8
9．设数列的前n项和为，则（ ）
A．25