新高考数学一轮复习核心考点讲练14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）（2份，原卷版+解析版）

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近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。
三、 2023真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（ ）
A．2B．C．D．
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，
则|OP|＝＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1+B．4C．1+3D．7
【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可得有≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，
设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，
直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，
故x﹣y的最大值为1+3．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
3．（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）
A．B．C．1+D．2+
【分析】设∠OPC＝α，则，根据题意可得∠APO＝45°，再将•转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解．
【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，
根据题意可得：∠APO＝45°，
∴
＝
＝cs2α﹣sinαcsα
＝
＝，又，
∴当，α＝，cs（）＝1时，
取得最大值．
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cs和sinα的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，
△PAC中，sin＝，所以cs＝＝，
所以sinα＝2sincs＝2××＝．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
二．填空题（共4小题）
5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝ ﹣3 ．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|OP|＝8，则p的值为 6 ．
【分析】不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得P点坐标，再由|OP|＝8列式求解p的值．
【解答】解：如图，
由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，
由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为，
得，解得k＝（k＞0），
则直线方程为y＝，
联立，得或，即P（）．
可得|OP|＝，解得p＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 2（或﹣2或或﹣） ．
【分析】由“△ABC面积为，求得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ，得到csθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，
因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，
解得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcsθ＝，
可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，
∴csθ＝或csθ＝，
∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝或，
∴＝或＝，
解得m＝±或m＝±2．
故答案为：2（或﹣2或或﹣）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 1 ．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
四、考点清单
一．直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤αr, 即>eq \f(\r(4－3a2),2),
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－350.
【正解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4), ∴eq \f(4－3a2,4)>0,①
∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,
∴|AC|>r,即 >eq \f(\r(4－3a2),2),化简得a2＋a＋9>0.②，
由①②得－eq \f(2\r(3),3)