新高考数学一轮复习核心考点讲练16数列（11种题型8个易错考点）（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题（共2小题）
1．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120B．85C．D．
2．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二．解答题（共2小题）
3．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
4．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
三、考点清单
一．等差数列的性质
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
二．等差数列的通项公式
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
三．等差数列的前n项和
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
四．等比数列的性质
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
五．等比数列的通项公式
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
六．等比数列的前n项和
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
七．数列的应用
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
八．数列的求和
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
九．数列递推式
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
十．数列与函数的综合
数列的函数特性：
等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
【解题方法点拨】
1．在解决有关数列的具体应用问题时：
（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；
（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；
（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；
（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．
2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：
（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．
（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．
（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．
3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．
十一．数列与不等式的综合
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
＝[]
﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），
＜＝（）（n≥2），
，
2（）＝＜＝＜＝2（）．
…+≥…+＝＝＜．
【解题方法点拨】
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；
（2）将分子或分母放大（或缩小）；
（3）利用基本不等式；＜；
（4）二项式放缩；
（5）利用常用结论；
（6）利用函数单调性．
（7）常见模型：
①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．
十二．等差数列与等比数列的综合
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣ m ，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
十三．数列与三角函数的综合
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
【解题方法点拨】
事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．
四、题型方法
一．等差数列的性质（共5小题）
1．（2024•郑州一模）已知数列为等差数列，，，则
A．19B．22C．25D．27
2．（2024•甘肃模拟）在等差数列中，，是方程的两根，若，则的值为
A．B．C．2D．6
3．（2024•秦都区校级四模）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则 ．
4．（2024•新疆一模）记为数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：（其中，则下列说法正确的是
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
5．（2024•东莞市校级一模）已知等差数列与等差数列的前项和分别为与，且，则
A．B．C．D．
二．等差数列的通项公式（共3小题）
6．（2023•全国一模）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为
A．172B．183C．191D．211
7．（2023•海淀区一模）在等差数列中，，，则
A．9B．11C．13D．15
8．（2024•自贡模拟）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，7，13，23，39，63，97，则该数列的第8项
A．131B．139C．141D．143
三．等差数列的前n项和（共5小题）
9．（2024•林芝市一模）已知等差数列的前项和为，若，，则使成立的的最大值为
A．3B．4C．5D．6
10．（2024•吉林模拟）已知等差数列满足，前项和为，则
A．8B．12C．16D．24
11．（2024•扬州模拟）等差数列的前项和为，已知，，则
A．B．的前项和中最小
C．的最小值为D．的最大值为0
12．（2024•黑龙江模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是
A．是递增数列B．C．D．
13．（2024•四川模拟）《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积．则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积．问第10天织布尺数为 ．
四．等比数列的性质（共5小题）
14．（2024•扬州模拟）已知函数，若是与的等比中项，则的零点个数为
A．0B．0或1C．2D．0或1或2
15．（2024•良庆区校级模拟）在数列中，．若命题，命题是等比数列，则是的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
16．（2024•浑南区校级模拟）已知等比数列的公比为，前项积为，若，则
A．B．C．D．
17．（2024•昌乐县校级模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
18．（2024•株洲模拟）设的整数部分为，小数部分为，则下列说法中正确的是
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．D．
五．等比数列的通项公式（共2小题）
19．（2024•林芝市一模）在正项等比数列中，，则 ．
20．（2024•凉山州模拟）设是等比数列，且，，则 ．
六．等比数列的前n项和（共3小题）
21．（2024•开封一模）记为等比数列的前项和，若，，则
A．6B．8C．9D．12
22．（2024•秦都区校级四模）已知等比数列的前项和为，若，，则
A．4B．C．10D．12
23．（2024•南充模拟）设等比数列的前项和为，且，，则 ．
七．数列的求和（共11小题）
24．（2024•浑南区校级模拟）已知数列，，，且，则数列的前2024项之和为
A．1012B．2022C．2024D．4048
25．（2024•昌乐县校级模拟）设数列的前项和为，已知．
（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；
（2）若，求的前项和．
26．（2024•吉林模拟）已知数列，．
（1）求，；
（2）求的通项公式；
（3）设的前项和为，若，求．
27．（2024•昌乐县校级模拟）已知函数为常数，且．
（1）在下列条件中选择一个 _____使数列是等比数列，说明理由；
①数列是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前项和构成的数列．
（2）设，当时，求数列的前项和．
28．（2024•天津模拟）已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
（1）求，的通项公式；
（2）已知，求：；
（3）求证：．
29．（2024•河西区校级模拟）已知数列，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，求．
30．（2024•新疆一模）数列满足，且，．
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，求的前项和．
31．（2024•甘肃模拟）已知数列的前项和为，且，是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求，的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
32．（2024•开封一模）已知数列为等差数列，，且．
（1）求；
（2）记为数列的前项和，求．
33．（2024•黑龙江模拟）已知等差数列公差与等比数列公比相同，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列前60项的和．
34．（2024•浑南区校级模拟）设数列的前项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围．
八．数列递推式（共6小题）
35．（2024•凉山州模拟）已知数列的前项和，则
A．9B．10C．11D．12
36．（2024•扬州模拟）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为1，2，8，64，1024，，且它的二阶商数列是常数列，则
A．B．C．D．
37．（2024•黑龙江模拟）已知数列的前项和为，若，且，都有，则
A．是等比数列B．
C．D．
38．（2024•永寿县校级模拟）已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则
A．是等差数列B．是等比数列C．D．
39．（2024•北京模拟）已知数列和满足，．
（1）证明：；
（2）是否存在，，使得数列是等比数列？说明理由．
40．（2024•良庆区校级模拟）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
九．数列与函数的综合（共2小题）
41．（2024•浑南区校级模拟）定义在，的函数满足，且，，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是
A．
B．若数列为等差数列，则公差为6
C．若，则
D．若，则
42．（2024•天河区校级模拟）设函数，．
（1）①当，时，证明：；
②当，时，求的值域；
（2）若数列满足，，，证明：．
一十．等差数列与等比数列的综合（共5小题）
43．（2024•四川模拟）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则
A．2B．C．D．
44．（2024•铜川一模）已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则
A．B．3C．或3D．1．或
45．（2024•河西区校级模拟）在等比数列中，成等差数列，则
A．3B．C．9D．
46．（2024•北京模拟）设是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，则
A．3B．C．D．2
47．（2024•株洲模拟）各项都为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
一十一．数列与三角函数的综合（共3小题）
48．（2024•株洲模拟）在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是
A．B．C．D．
49．（2023•河北模拟）已知函数的零点是以为公差的等差数列．若在区间，上单调递增，则的取值范围为
A．B．C．D．
50．（2023•普陀区校级模拟）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为 ．
五、易错分析
易错点一、利用an＝Sn－Sn－1求通项公式忽视n＝1致错
1、在数列中，（），求的通项公式．
易错点二、忽视在数列中n为正整数而致错
2．在数列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)中，若an＝0.08，则n＝( )
A.eq \f(5,2) B．8 C.eq \f(5,2)或10 D．10
易错点三、等比数列问题中忽视对公比的讨论致错
3．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则等比数列{an}的公比q的值为( )
A．1 B．1或eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
4. 设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且.则____.
5、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4，设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.
易错点四、使用错位相减法求和，两式相减时符号出错
6、设为数列的前n项和，已知，，．求数列的前n项和．
易错点五、利用裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝eq \f(1,2)a12＋6，a2＝4，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))的前10项和为( )
A.eq \f(11,12) B．eq \f(10,11) C.eq \f(9,10) D.eq \f(8,9)
8．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2n－12n＋1)))的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn