新高考数学二轮复习立体几何专题练习专题04 立体几何中的截面问题（2份，原卷版+解析版）

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题型一:作几何体截面
方法一:平行线法
平行线法作多面体的截面的基本步骤:
(1) 连接同一表面上的两点得直线.
(2) 过表面的平行表面上一截点作的平行线,若该平行线与棱交于一点可得到新的截点.
(3) 将新得的截点与已知的截点首尾连线,若所有连线均在表面上,则终止找截点的过程;否则,重复步骤 (1)和(2)找出所有的截点,连接截点成截线,从而可得截面.
1．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【分析】根据题意，取的中点，的中点，的中点，连接，可得过的截面图形.
【详解】解：如图，取的中点，
的中点，的中点，连接，
由正方体的性质可知，
由中位线性质可知，
所以，，
所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形．
故选：D．
2．在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果.
【详解】
连接，过点做交于点，连接，即可得到截面，
因为为中点，，所以，
因为，则，且，
，
所以截面的周长为
故选:D
3．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形B．三角形C．正方形D．矩形
【答案】A
【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状.
【详解】取BC中点H，连接AH，GH，，.如下图所示：
由题意得，.又平面，平面，
平面，同理平面.又，平面，平面平面，故过线段且与平面平行的截面为四边形，显然四边形为等腰梯形.
故选：A
方法二:交线法
交线法作多面体的截面的基本步骤:
(1)延长同一表面上的两点所在的直线.
(2)若过这两点的直线与棱的延长线交于一点,且该点与其他截点共表面,则连接这两点可得到新的截点.
(3)将新得的截点与已知的截点首尾连线,若所有连线均在表面上,则终止找截点的过程;否则,重复步骤(1) 和(2)找出所有的截点,连接截点成截线,从而可得截面.
4．已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长.
【详解】过直线与射线分别交于，作射线交于，
连接交于，如下图示：
所以六边形即为面截正方体所得的多边形，
又M，N，P分别是棱、、的中点，易知：均为中点，
所以截面为正六边形，故周长为.
故选：C
5．如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形，求出梯形周长即为所求.
【详解】连接 与的延长线交于点, 连 接与交于点,
因为 , 所以为的中点, 则为的中点,
所以截面为梯形 ,
因为所有棱长均为2,，
所以,,
,
,
故梯形 的周长为 .
故选：D.
6．在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】延长交于点，连接交于点，如图，
在正方体中，面面，
面面，面面
，又
四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.
又，在等腰梯形中，过作，

.
故选：C.
题型二：平面与球的截面问题
平面截球的截面仍是圆或是圆弧,处理这类问题的关键是确定球心与平面之间的距离,通过勾股定理可求出截得小圆的半径.
7．已知点P、A、B、C是球O的球面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直且长度均为，M是AP的中点，记过点M与平面ABC平行的平面，则球O被平面截得的截面面积等于( )
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据PA、PB、PC两两垂直且长度均为可求球O的半径.连接OP，交平面ABC于点E，交平面于点F，根据正方体的几何性质可求OE、PE、PF，从而可求OF，于是可求截面圆的半径和面积．
【详解】∵PA、PB、PC两两垂直且长度均为，
∴球O为棱长是的正方体的外接球，设球的半径为R，则．
连接OP，交平面ABC于点E，交平面于点F，
则OP为正方体体对角线的一半，则易证平面ABC，则平面，
，易知△ABC为等边三角形，E为△ABC的中心，CE=，
OE=，
∵M是AP的中点，平面∥平面，∴，，
即球心O到平面的距离为2，
∴截面圆的半径，
∴截面面积为．
故选：A．
8．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解出点到平面的距离，进而求出截面半径和面积
【详解】因为，平面
将三棱锥补成正方体，
所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心是的中点.
设外接球的半径为，则，即，
以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
由，得，令则，
所以平面的一个法向量.
所以球心到平面的距离为，
设平面截三棱锥的外接球所得的截面半径，则，
故该截面的面积为，
故选：C
9．四棱锥S-ABCD所有棱长都为，底面ABCD是正方形，以点S为球心的球S与底面只有一个公共点，球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，分析可得SO就是球S的半径，且球S被每个侧面截得的弧长为，求和即可.
【详解】
设正方形ABCD的中心为O，
由于四棱锥S-ABCD所有棱长都相等，
所以SO⊥底面ABCD.
∵，∴AO=3，∵，∴SO=3.
∵球S与底面只有一个公共点，
∴SO就是球S的半径，长为3.
四个侧面均为等边三角形，
且四个侧面所在平面都经过球心S，故截面圆半径为3，且所截的弧所对圆心角为，
故球S被每个侧面截得的弧长为，
所以球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为.
故选：B
10．已知三棱锥中，平面，，点E，F分别是线段的中点，直线相交于点G，则过点G的平面与截三棱锥的外接球O所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】可用补形法，补全为正方体，先计算三棱锥的外接球半径，由题意可计算，当截面垂直时，截面面积最小，截面过球心时面积最大.
【详解】因为，故，将三棱锥补形成正方体，如图所示，
已知三棱锥的外接球球的半径，
取的中点，连接必过点，
因为，即，所以，
因为，所以，
则过点的平面截球所得截面圆的最小半径，
所以截面面积的最小值为，最大值为,
故选：D.
【过关检测】
一、单选题
1．用平面截正方体，截面不可能是（ ）
A．菱形B．等腰梯形
C．正五边形D．正六边形
【答案】C
【分析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C项.
【详解】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确；
对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确；
对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误；
对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确.
故选：C.
2．某平面过棱长为2的正方体的一个顶点，且截该正方体所得截面是一个五边形．若该五边形最长的两条边的边长分别是，，则下列边长不是该五边形其他三条边的边长的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方体过顶点，且截该正方体所得截面是一个五边形根据最长的两条边确定五边形其他边长，结合线面平行，三角形相似即可得其余三边长.
【详解】解：如图，在正方体中，过顶点，截该正方体所得截面是一个五边形为，
由于正方体的棱长为，且五边形最长的两条边的边长分别是，，即图中，
所以可得，即为中点，为棱上靠近的四等分点，所以，
由于延长交于，延长交于，连接分别交于点，连接，
在正方体中，平面平面，又平面，所以平面，
又平面平面，所以，所以，则，即，
所以，则，
同理可得，所以，则，即，
所以，则，
所以，
故截面是一个五边形的其余三边长分别为，，.
故不是该五边形其他三条边的边长.
故选：A.
3．某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】画出图形，表示出面积的函数即可求出最值.
【详解】如图:
截面为，设为中点，设，
则，
则截面面积，
则当时，截面面积取得最大值为2.
故选：A.
4．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则面截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正方体的棱是3组每组互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出截面的位置，确定截面为一个正六边形，边长是面的对角线的一半，求面积得结果.
【详解】正方体的所有棱，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，
只需从同一个顶点出发的三条棱与面所成角相等即可.
在正方体中，平面与线所成的角是相等的，
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
由正方体的对称性，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个平行平面与中间，过棱的中点的正六边形，且边长为，如图所示，
所以其面积为，
故选：B.
5．正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点.则（ ）
A．直线与直线AF垂直B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【答案】B
【分析】对于A，假设直线与直线垂直，然后进行推理，得出矛盾，对于B，的中点，连接，利用面面平行的判定可得平面平面，再由面面平行的性可得结论，对于C，连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得梯形为截面，进而可求出其面积，对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，然后分别利用等体积法求解判断即可.
【详解】对于A，若，因为平面，平面，
所以，因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，因为，所以，
这不成立，所以假设错误，所以A错误，
对于B，的中点，连接，，，
因为E，F，G分别为，，的中点，
所以，，，，所以，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以B正确，
对于C，如图所示，连接，延长，交于，
由选项可知，，因为，，
所以，，所以四点共面，
所以梯形为截面，因为，，
所以，
因为∽，且相似比为，
所以，所以C错误.
对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，因为
，
，
所以，所以D错误.
故选：B.
6．已知三棱锥中，三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画出图形，找到球面被三棱锥四个表面截得的弧，求出弧长相加即可.
【详解】如图所示，该球面被三棱锥四个表面截得的弧分别为弧EF，弧DF，弧EG和弧DG，
因为三条棱两两垂直，且长度均为，
由勾股定理得：，所以，故，
因为，故，故，
所以，
则，所以，
故该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为.
故选：B
7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求解
【详解】（1）当即与重合时，过点，，的截面为正方形，不合题设
（2）当，即为中点时，，，则，
所以过点，，的截面为梯形，不合题设
（3）当即与重合时，取中点，中点，连接，，，

因为，所以四边形为平行四边形，所以
因为，所以四边形为平行四边形，所以
所以
所以过点，，的截面为平行四边形，不合题设
（4）当时，过作交线段于，过作交线段于，连接
因为，所以四边形为平行四边形，所以
又，所以
所以过点，，的截面为梯形，不合题设
（5）当时，取中点，在线段上截取，连接，，过作交线段的延长线于点，交线段于点，连接交于点，连接
因为，所以四边形为平行四边形，所以
又，所以
所以过点，，的截面为五边形，符合题设
此时，，
所以的取值范围为
故选：D
8．在三棱锥中，是等边三角形，，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用等体积法结合球的截面小圆性质求出截面圆半径作答.
【详解】在三棱锥中，是等边三角形，，，，
则，，则有，取中点O，连接，有，
因此点O是三棱锥外接球球心，球半径，如图，
因为点是棱的中点，则，等腰底边上的高，
的面积，取中点F，连接，
则，而平面，于是平面，
在中，，由余弦定理得，
有，的面积，
，
显然，令点O到平面的距离为d，
因此，即，解得，令平面截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r，
则有，所以平面截三棱锥外接球所得截面面积.
故选：D
9．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.
【详解】连接，，由，
可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等边三角形，为中点，
所以，又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，因此，所以是矩形,
和是边长为的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形中，，连接，
所以，
设过点的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆的半径为：，所以此时面积为，
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为.
故选：A．
二、多选题
10．已知正方体的棱长为2，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．
B．
C．平面截此正方体所得截面的周长为
D．三棱锥的体积为3
【答案】BC
【分析】建立坐标系，利用空间向量坐标的关系判定A,B选项的正误，把截面作出来，根据截面形状可求周长，利用等体积进行转化可求三棱锥的体积.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则;
,;
因为，所以与不平行，A不正确；
因为，所以，B正确；
如图，取的中点,取的中点，连接，
由正方体的性质可知，；
因为分别为的中点，所以，所以；
平面截正方体所得截面为梯形，
因为正方体的棱长为2，所以,
，
所以平面截此正方体所得截面的周长为，C正确；
由上面分析可知，，平面，平面，
所以平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离；
，
而，所以三棱锥的体积为1，D不正确.
故选：BC.
11．已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E，F分别为，的中点.则下列说法错误的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．平面平面
C．直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为
D．以D为球心，为半径的球与侧面的交线长为
【答案】ABD
【分析】是直线与平面所成角，计算A错误，平面平面，B错误，，球心到的距离为，故弦长为，C正确，交线长为，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：平面，故是直线与平面所成角，，错误；
对选项B：，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，错误；
对选项C：外接球半径为，球心到的距离为，故弦长为，正确；
对选项D：平面到球心的距离为，交线为圆的部分，如图所示，圆半径为，交线长为，错误.
故选：ABD
12．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是的中点，点P在线段上，平面，则（ ）
A．与所成角为B．点P为线段的中点
C．三棱锥的体积为D．平面截正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【分析】以为原点，，，为轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解，判断选项A、B；对于C，利用等体积法求出三棱锥的体积；对于D：先判断出平面截正方体所得截面为正六边形，边长为.直接求体积.
【详解】以为原点，，，为轴正方向建立空间直角坐标系，则.
则.
对于A：设与所成角为，则，且，
所以.故A正确；
对于B：点P在线段上，可设，所以，所以.
设为面的一个法向量，所以，
不妨设，则.
因为平面，所以，解得：.
所以.
即点P为线段的中点.故B正确.
对于C：因为平面，所以点到平面的距离相等.
所以.
故C错误.
对于D：分别取，，的中点为，连接.
在正方体中，所以所以四点共面.
同理可证：共面.
在棱长为2的正方体中，所以.
同理可求：.
所以平面截正方体所得截面为正六边形，边长为.
面积为.
故D正确.
故选：ABD