新高考数学二轮复习立体几何专题练习专题05 立体几何中的空间距离问题（2份，原卷版+解析版）

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一、空间两点间的距离
设.直接用公式或求解.
二、点到直线的距离
设为直线上一点,为直线的方向向量,在向量方向上的
投影向量的模长为,则点到直线的距离.
三、两平行直线,之间的距离
两平行直线,之间的距离可以看成直线上一点到直线的距离,
则,其中是直线的方向向量.
四、异面直线,之间的距离
设,直线,的公共法向量为(公共法向量的求法
与平面的法向量求法相同),则异面直线,之间的距离为向量在方
向上投影向量的模长, 即,其中,.
五、点到平面的距离
设为平面的法向量,是平面的一条斜线,,则点
到平面的距离等价于向量在方向上投影向量的模长,即.
方法二：几何定义法 方法三：等体积法
六、直线到平面的距离、两平行平面的距离都可转化为点到平面的距离
直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离,
即直线到平面的距离.
与平面平行的平面到平面的距离等价于平面上一点到
平面的距离,即.
题型一：空间两点间的距离
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点到点的距离为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据空间两点的距离坐标公式即可.
【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得：.
故选：C
2．已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】先求点的坐标，再根据空间中两点间距离公式运算求解.
【详解】由题意可得：点关于轴对称点为，
故.
故选：B.
3．已知点、分别为点在坐标平面和内的射影，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出点、的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得的值.
【详解】因为点、分别为点在坐标平面和内的射影，则、，
因此，.
故选：A.
题型二:点到直线的距离
4．已知点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.
【详解】设，
可求得，
所以．
故选：B
5．已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.
【答案】
【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.
【详解】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，
所以，
所以点到的距离为
故答案为：.
6．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段上的中点，点M满足，则点M到直线AE的距离为________________．
【答案】
【分析】利用点到直线的距离与两条平行线间的距离、空间向量的坐标运算．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，所以，则有，
又，即M在上，
所以点M到直线AE的距离即等于点F到直线AE的距离，
又因为，，
所以，，
所以点M到直线AE的距离为．
故答案为：．
题型三:异面直线,之间的距离
7．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.
【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，设与和都垂直，
则，即，取，又因为，
所以异面直线和间的距离为.
故选：B.
8．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又，
所以异面直线与之间的距离为．
故选：D．
9．正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用空间向量法求出异面直线和的距离，即可得解.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，，，
所以，，，
设且，即，令，则，，所以，
所以异面直线和的距离，
所以、间距离的最小值为；
故答案为：
10．如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
【答案】#
【分析】建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.
四:点到平面的距离
方法一：向量法
11．如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】取的中点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
故选：A.
12．在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，则的重心到平面PAD的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，直接建系，利用法向量，可求解.
【详解】设AC与BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
设平面PAD的法向量为，则令，得.
因为的重心G的坐标为，即，
所以，
故点G到平面PAD的距离为.
故答案为：C
13．如图，已知正方体中，分别为中点，，则到平面的距离是__________．
【答案】##
【分析】利用坐标法，根据点到平面的距离向量求法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以到平面的距离是.
故答案为：.
方法二:等体积法
14．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等体积法结合条件即得.
【详解】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为，
由题可知，
所以，
由于，
所以，
所以.
故选：A
15．如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，证明平面，进而将其转化为到平面的距离，再根据等体积法求解即可.
【详解】解：连接，因为是侧面的中心，
所以，
因为，由正方体的性质知，
所以，是平行四边形，
所以，
因为平面，平面
所以平面，
所以，到平面的距离与到平面的距离相等，
设到平面的距离为
中，，，
因为，
所以，，解得
所以，到平面的距离为
故选：A
16．已知三棱锥中，两两垂直，且，则点P到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得
【详解】设点到平面的距离为，
∵两两垂直，且，
∴，，
∴，
∵，即
∴，
∴，即点到平面的距离为，
故选：C
方法三:几何定义法
17．已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正四面体顶点到底面之间的距离即可.
【详解】如图所示
三棱锥为边长为的正四面体
所以，，
故点到平面的距离为
故选：C
18．棱长为1正方体中，E为的中点，则E到面的距离（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合已知条件可知平面，进而将问题转化为到面的距离，然后利用线面垂直的性质和判定证明平面，最后利用正方体的棱长即可求解.
【详解】由题意，连接，交于，如下图：
由正方体性质易知，平面，
故E到面的距离为到面的距离，
由正方体性质可知，平面，平面，
故，
由正方形性质可知，，
因为平面，平面，，
所以平面，
因为，
所以到面的距离为，
从而E到面的距离为.
故选：A.
19．在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BM，由面面垂直的判定证明平面平面，再利用面面垂直的性质即可推理计算作答.
【详解】在正方体中，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点B作于E，连接BM，如图，
因平面平面，于是得平面，则BE长即为点B到平面的距离，
点M为棱的中点，在中，，
，即，解得，
所以点B到平面的距离为.
故选：D
五:直线到平面的距离、两平行平面的距离都可转化为点到平面的距离
20．已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解
【详解】由正方体的性质，∥,∥，，，
易得平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，．
连接，由，，且，可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离．
故选：D
21．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解．
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，则，
所以，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
又因为，所以．
所以平面与平面的距离为．
故答案为：．
【过关检测】
1．已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】因为，
所以，
则点到直线的距离为.
故选：C.
2．直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，
因为直线的方向向量为，
所以取直线的一个单位方向向量为，
由，可得，
所以，
，
所以.
故选：B.
3．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、、，
，，则，所以，，
因为平面，平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，直线到平面的距离为.
故选：A.
4．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
故选：A
5．在棱长为2的正方体中，在线段上，且，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】建立空间直接坐标系，求出平面的法向量，利用空间中点到平面距离公式即可求解.
【详解】
如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
.
设为平面的法向量，且，
则
即
取,
故点到平面的距离.
故选：B.
6．已知正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥在面ABC上的高，由此能求出球心到截面ABC的距离．
【详解】M，N分别为PA，AB的中点且，则
,又由正三棱锥的性质知其对棱垂直，故，又,故平面
∴PA，PB，PC两两垂直，
∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，如图，
此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，
球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥在面ABC上的高，
∵球半径，
∴正方体的棱长为2，
∴正三棱锥在面ABC上的高为，
∴球心到截面ABC的距离为．
故选：C．
7．若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设与交于点，连接，结合题意可证明平面，再过作，垂足为，则，进而得到平面，则到平面的距离为，再根据题意求解即可.
【详解】如图，设与交于点，连接，
，，
，，
又为的中点，，
四边形为菱形，，
又，平面，
在平面中，过作，垂足为，则，
又，平面，即到平面的距离为，
由已知：，为等边三角形，，.
和均为等边三角形，，
，
在中，由余弦定理，，
，，
在中，.
故选：C.
8．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量在上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.
方法二：证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.
【详解】连接，记直线的交点为，
由已知平面，，
以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由已知，
所以，
则，
所以，，，
设，则
，
所以在上的投影向量的模为，
又，
所以动点M到直线BE的距离，
所以，
所以当时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为，
故选：D.
方法二：因为为等边三角形，为的中点，所以，
由已知，所以，
所以，
所以为异面直线，的公垂线段，
所以的长为动点M到直线BE的距离最小值，
所以动点M到直线BE的距离最小值为，
故选：D.
二、多选题
9．在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．B．平面
C．平面与平面相交D．点到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间垂直向量的坐标表示判断A；利用线面平行的向量法判断B；利用面面平行的向量法判断C；利用向量法求出点到平面的距离公式判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，
，
A：，有，
则DF与不垂直，故A错误；
B：，，
设平面DEF的法向量为，
则，令，得，
所以，得，所以平面DEF，故B正确；
C：，由B选项可知平面DEF的法向量，
设平面的法向量分别为，
，令，得，
所以，得不成立，所以平面与平面DEF相交，故C正确；
D：由，平面DEF的法向量，
则点B到平面DEF的距离为，故D正确.
故选：BCD.
10．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．点到直线的距离是B．直线到直线的距离是
C．点到平面的距离是D．直线到平面的距离是
【答案】ABCD
【分析】根据题意，利用等面积法，由，代入求解即可判断A；将两平行线的距离转化为点到直线的距离，结合余弦定理及同角三角函数的基本关系，求得，因此可得，即可求出直线到直线的距离可判断B；建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点到平面的距离公式可判断C，D.
【详解】对于A，连接，过点作，交于，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
因为直线平面，平面，所以，
因为，所以，
则，
所以点到直线的距离是，故A正确；
对于B，如图，连接，，在平面中，作，
为垂足，因为分别为，的中点，
因为，所以，
所以，同理，所以四边形是平行四边形，
所以，所以即为直线到直线的距离，
在三角形中，由余弦定理得：，
所以，在直角三角形中，
.
故直线到直线的距离是，所以B正确；
对于C，如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令得，
所以点到平面的距离是，
所以C正确；
对于D，由C可知，，
直线到平面的距离是，
所以D正确.
故选：ABCD.
11．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（ ）
A．平面PAC
B．平面EFC
C．点F到直线CD的距离为
D．点A到平面EFC的距离为
【答案】AD
【分析】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，由，，利用线面垂直的判定定理可判断A正确；求出平面EFC的法向量、的坐标，利用可判断B；设点A到平面EFC的距离为d，由可判断D；设点F到直线CD的距离为h，计算可判断C．
【详解】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，,，，，，
则，，，，
因为，，
所以，，即，，
又，平面PAC，
所以平面PAC，A正确；
设平面EFC的法向量为，则，令，得，
因为，所以，B不正确；
设点A到平面EFC的距离为d，，则，D正确；
设点F到直线CD的距离为h，，，
则，即，C不正确．
故选：AD.
12．已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是
B．点到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为
D．点到直线的距离为
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，
，
所以.
设，则，
.
故到直线的距离，故A对.
易知，
平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B对.
.
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，
所以.
所以点到平面的距离.
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C错.
因为，
所以
又，则，
所以点到的距离，故D错. 故选：AB.
三、填空题
13．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________.
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】取直线的方向向量为，
因为，，
所以，，，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
14．边长为2的正方体中，的体是的中点，则到平面的距离是__________．
【答案】##
【分析】方法一：建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式求解即可；方法二：将到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法即可求得答案．
【详解】解法一：空间向量法：
如图，以为原点，以，，方向为轴建立空间直角坐标系，
各点坐标为：，，，，，
，
设平面的法向量为，于是，取，则，
，
到平面的距离：，
解法二：等体积法：
如图，易知，，，
平面，
到平面的距离是，
设到平面的距离是，且，
，解得，
故答案为：．
15．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______.
【答案】##
【分析】首先以点A为原点，建立空间直角坐标系，然后利用点到直线距离的坐标公式列式，化简后求函数的最小值即可.
【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为1，
则，
所以，
因动点P在线段上，则令，
即有点，所以，则，
从而，
因此点P到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故答案为：
16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．
【答案】##
【分析】平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，当点P，M，N和共线时周长最小，计算得到，，，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据距离公式计算得到答案.
【详解】要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，
延长DC至，使得，
于是点N在线段的垂直平分线上，所以，
因为PD为定值，故当点P，M，N和共线时，空间四边形PMND的周长最小，
易得，即得，即，
所以，，，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，由题意可得，，，
则，，
设是平面PMN的一个法向量，则. 即得，
令，得，，，，
所以点Q到平面PMN的距离．故答案为：．
四、解答题
17．如图，在长方体中，，，求：
(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
【答案】(1)； (2)； (3).
【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可.
【详解】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，，
所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离；
（2）由(1) ，，，
设平面的法向量，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；
（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．
（1）
解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.
18．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明.
（2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案.
（1）
法一:证明：连接分别为的中点，
分别是的中点，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
（2）
法一:平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，．
法二:
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为
20．如图，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱锥，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)点到平面的距离为.
【分析】（1）先证明平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，再由距离公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，，
所以，故，
又，平面，，
所以平面，因为平面，
所以，
在等腰梯形ABCD中，，
所以，
所以，又，
所以，
因为平面，，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）由（1）平面，，
以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，
21．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明；
（2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为底面为正方形，
所以为的中点，
所以，在中，为的中点，为的中点，
所以；
又因为面，面，
所以平面.
（2）解：因为平面，为正方形，平面，
所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，，即，
令，则，，即，
，
设点P到平面MAC的距离为d，
所以，
所以，点到平面的距离为.
22．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
(1)求直线与平面所成角正弦值；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由线面垂直判定可知平面，由线面角定义知所求角为，由长度关系可得结果；
（2）过作，由面面垂直的判定与性质可知即为所求距离，利用面积桥可求得结果.
【详解】（1）平面，平面，，；
是圆的直径，，又，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
，，，又，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）
过作，垂足为，
由（1）得：平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面，，平面，
，，
根据等面积法知：，，
即到平面的距离等于.
23．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱上的一点，且．
(1)证明：平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用菱形、等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理.
（2）利用线面垂直的判定定理、性质定理以及等体积法进行求解.
【详解】（1）证明：记，连接，则是，的中点．
因为四边形是菱形，所以．
因为，且是的中点，所以．
因为，平面，且，
所以平面．
（2）
连接．因为，且是的中点，所以．
因为，，平面，且，所以平面．
因为，，所以，，所以，
故三棱锥的体积，
因为，所以．
过点作，垂足为，
由题中数据可得，，则．
因为平面，且平面，所以，
则的面积．
设点到平面的距离为，则，解得．
24．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，且点分别是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用长度关系得出，再根据面面垂直得出线面垂直；
（2）利用等体积法由可得答案.
【详解】（1）因为，
所以是正三角形，所以；
又，由余弦定理得，
则，所以，即；
因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，
所以；
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，
在直角中，，
设点到平面的距离为，由，
即，
解得，所以点到平面的距离为.
25．如图，在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，，结合线面垂直的判定即可证；
（2）点O到平面PAC距离，即为三棱锥面PAC的高，计算出与即可.
【详解】（1）证明：因为为的中点，所以.
连接，因为，所以.
又，所以，所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）因为，
所以，.
，
.
设点到的距离为，则，则.
设点到平面的距离为，则.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.