新高考数学二轮复习立体几何专题练习专题06 向量法与几何定义法求空间角（2份，原卷版+解析版）

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一、几何定义法求异面直线所成角
求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为平面中角的问题,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较苦难,可以补形后,再作平行线,加以解决.
求角的步骤是:一作、二证、三求.
作:通过作平行线,得到相交直线.
证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角).
求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或是直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是所求的角.
1．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，F为的中点，E为母线BC的中点，异面直线AC与EF所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、向量法求异面直线所成角
设空间直线的方向向量分别为,其夹角为所成角的大小为,则或,所以.
利用向量法求异面直线所成角的一般步骤:
(1)选好基底或建立空间直角坐标系;
(2)求出两直线的方向向量；
(3)代入公式 求解.
(4)两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是,
当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成角.
5．如图，在正方体中，棱长为为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（ ）
A．2B．C．4D．1
8．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知平面四边形中，，现将沿折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线与所成角的余弦值是__________.
三、定义法求线面角
定义法求线面角的步骤：
（1）根据直线与平面所成角的定义找直线与平面所成角,即在直线上一点作或找平面的垂线、找射影.
（2）计算:得所求角，然后将所求角置于直角三角形中，通过解直角三角形加以解决。
注意：若求垂线有困难，可以通过求几何体的高，利用体积法加以解决。
若求作线面角有困难，可以通过平移斜线至合适位置，作出线面角，再在直角三角形中求解。
10．正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
11．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
13．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
四、向量法求线面角
如图所示,设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,两向量与的夹角为,则有或,所以

15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
16．如图所示的多面体，底面为长方形，平面，，则与平面所成角正弦值为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________．
18．在正方体中，点M，N分别是上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
五、几何定义法求面面角
二面角的大小计算主要是转化为平面角来实现的，求作二面角的平面角的方法主要有以下三种：
一是利用定义，即在二面角的两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角；
二是作二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所成的角，即为所求；
三是利用三垂线定理或逆定理,在利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角时，关键是观察是否有直线与二面角的一个半平面垂直.
若在解题时遇到无棱问题，一般可以作两半平面的交线，再予以解决。
在作二面角的平面角有困难时，可以通过平移平面加以解决。
在解决客观题时，也可以通过一个半平面内几何图形的面积与该图像在另一个半平面内射影的面积比求出二面角的平面角的余弦值，或通过异面直线上两点间的距离公式求解。
19．在四棱锥中，若四边形为正方形，平面，，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
20．如图，棱长都相等的平行六面体中，，则二面角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
21．如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．
C．D．
22．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.
六、向量法求面面角
(1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量, 求出其夹角. 如图所示,即为所求二面角的平面角.
(2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.
如图所示,二面角,平面的法向量为, 平面的法向量为,, 则二面角的大小为或.

面面角与二面角的区别：
二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角.
两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为, 二面角的取值范围为.若求得的二面角为锐角, 则面面角即为二面角; 若二面角为钝角,则面面角为其补角.
23．已知平面的一个法向量为，向量，，则平面与平面ABC夹角的正切值为（ ）
A．B．2C．D．
24．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（ ）
A．120°B．45°C．150°D．60°
25．已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ）
A．2B．C．D．
26．已知矩形ABCD，，，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的大小为（ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，，，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，两个相同的圆柱与圆柱中，四边形ABEF，BCDE分别为两个圆柱在同一平面上的轴截面，G，H分别为所在半圆弧的中点，若，则异面直线AG与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
6．在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱锥P－ABC中，侧棱PA与底面ABC所成的角为，且AB=3，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为（ ）
A．8πB．12πC．16πD．18π
9． 正四面体中，是侧棱上（端点除外）的一点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在三棱锥中，，点在平面内，过作于，当与面所成最大角的正弦值是时，与平面所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
11．在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（ ）
A．
B．
C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为
14．正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成角为，二面角A-BD-C的大小为，则（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点P在线段上
C．平面
D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为
16．已知四棱柱的底面是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则（ ）
A．直线AM与BC所成的角为
B．
C．直线AM与平面所成角的正弦值为
D．点M到平面的距离为
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为D．平面与平面的夹角的余弦值为
三、填空题
19．圆柱的上底半径OA与下底半径垂直，若，AB与所成的角为，则AB的长为______．
20．如图，三棱锥中，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角的正弦值是______．
21．如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为_________．
22．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的高为边长的一个正方形面积与该正四棱锥一个侧面三角形的面积相等，则此正四棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为______．
23．在平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到的位置，若二面角P－BD－C的大小为，则四面体PBCD的外接球的表面积为______.
四、解答题
24．如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.
(1)证明：；
(2)求与面所成角的正弦值.
25．已知正三棱柱的所有棱长为，是中点，求：
(1)直线与所成角的大小；
(2)直线与平面所成角的大小；
(3)二面角的大小；
(4)点到平面的距离．
26．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.
(1)求证：面；
(2)点Q在棱上，设（），若二面角的余弦值为，求.
27．如图，已知三棱柱中，，，，设，，.
(1)若为的中点，求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
28．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
29．如图，在几何体ABCDE中，面ABE，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)，，CE与平面DAE所成角的正弦值为，求几何体ABCDE的体积.
30．如图所示，在三棱锥中,.设点在底面上的射影为.
(1)求二面角的余弦值.
(2)设点在棱上，且，试求二面角的夹角的余弦值.
31．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
(1)求证：平面平面DAE；
(2)AB=1，，二面角的大小为，且，求AD的长．
32．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．