新高考数学二轮复习常考题分类讲练第12讲 解三角形解答题十大题型总结（2份，原卷版+解析版）

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题型一：利用正余弦定理面积公式解题
题型二：解三角形与三角恒等变换结合
题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题
题型五：角平分线相关的定理
题型六：有关三角形中线问题
题型七：有关内切圆问题（等面积法）
题型八：与向量结合问题
题型九：几何图形问题
题型十：三角函数与解三角形结合
【典例例题】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【例2】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
【例3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
求角C；
（2）若，，求的周长.
【例4】已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
【题型专练】
1.已知分别为三个内角的对边，
（1）求角 A （2）若，的面积为；求.
2.已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．
3.（2021新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积．
5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在中，角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求外接圆的半径.
题型二 解三角形与三角恒等变换结合
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【例3】在中，满足 ．
（1）求；
（2）设，求的值.
【题型专练】
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角中，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
3.在中，已知.
（1）求证：；
（2）求角的取值范围.
题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为
A．B．C．D．
【例2】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【例3】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【例4】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【题型专练】
1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．
2.已知，，分别为角，，的对边，，且，则下列结论中正确的是
A. B.
C. 面积的最大值为D. 面积的最大值为
3.的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设sinAcsB＝sinB（2﹣csA）．
（1）若b+ca，求A；
（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．
5.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___
6.（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题
【例1】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的周长的取值范围是________.
【例2】在锐角中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若的外接圆的半径为1，求的取值范围.
【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若角B为钝角，求的取值范围．
【题型专练】
1.在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
2.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
3.已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值．
题型五：角平分线相关的定理
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．
【例2】△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在中，内角的对边分别为，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
(1)求角的大小；
(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值．
【题型专练】
1.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为 ．
2.中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
题型六：有关三角形中线问题
遇到角平分线问题一般有两种思路：
思路一：中线倍长法
思路二：利用平面向量
【例1】在中，分别是内角所对的边，且满足 ，
（1）求角的值；
（2）若 ，AC边上的中线， 求的面积.
【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度；
(2)若E为边上一点，且，，求的最小值．
【题型专练】
1．（2022·广东广州·一模）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若，，AD是的中线，求AD的长.
2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角的对边分别为，且______．
(1)求角的大小；
(2)边上的中线，求的面积的最大值．
题型七：有关内切圆问题（等面积法）
【例1】在中，，，，则
A. B.
C. 外接圆直径是D. 内切圆半径是
【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在中，．
(1)求角的大小；
(2)若的内切圆圆心为，的外接圆半径为4，求面积的最大值．
【题型专练】
1.三角形有一个角是，夹在这个角的两边长分别为和，则
A. 三角形另一边长为B. 三角形的周长为
C. 三角形内切圆面积为D. 三角形外接圆周长为
2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在中，角A，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，记为的内切圆半径，求的最大值.
题型八：与向量结合问题
【例1】锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若点D满足，求面积的最大值．
【题型专练】
1.在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）的值．
2.中，、、分别是三内角、、的对边，若．解答下列问题：
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若，求的面积．
题型九：几何图形问题
【例1】在中，，，点在边上，，．
（1）求；
（2）求的面积．
【例2】如图，在中，，，点在边上，且，．
（1）求；
（2）求，的长．
【例3】如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
【例4】如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
【例5】在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【题型专练】
1.如图，在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
2.在平面四边形中，的面积为2．
（1）求的长；
（2）求的面积．
3.如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．
4.如图所示，已知圆内接四边形，记．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的值及四边形的面积．
5.如图，角，，，为平面四边形的四个内角，，，．
（1）若，，求；
（2）若，，求．
6.某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．
（1）如果，求四边形的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．
7.的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
8.四边形的内角与互补，．
（1）求和；
（2）求四边形的面积．
题型十：三角函数与解三角形结合
【例1】（2020·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）设向量，，，记函数
（1）求函数的对称轴及对称中心；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.
【例2】已知．
求的最大值，以及该函数取最大值时的取值集合；
在中，、、分别是角、、所对的边长，且，，，求角．
【题型专练】
1．（2022·浙江大学附属中学高二期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值和函数的单调增区间；
(2)已知的三个内角分别为，其对应的边分别为，，，若有，，求面积的最大值.
2.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，为边上一点，，为锐角，且，求的正弦值．