新高考数学二轮复习常考题分类讲练第20讲 双曲线高考6大常考基础题型总结（2份，原卷版+解析版）

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考点二：双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
考点三：双曲线常考性质结论
①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
【题型目录】
题型一：利用双曲线定义解题
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线焦点三角形面积
题型四：双曲线的渐近线有关题型
题型五：双曲线的离心率问题
题型六：双曲线的最值问题
【典型例题】
题型一：利用双曲线定义解题
【例1】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【例2】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则
【例3】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 ．
【例4】已知曲线的方程为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线为椭圆
B．若，则曲线为双曲线
C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则
D．若为双曲线，则渐近线方程为
【题型专练】
1.设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．1C．D．2
2.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2| = .
3.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．或D．
题型二：求双曲线的标准方程
【例1】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例3】已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型专练】
1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4.已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________.
5．（2022·重庆·三模多选）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（ ）
A．的周长B．的周长与之差
C．D．
题型三：双曲线焦点三角形面积
【例1】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ）
A．1 B．2C．4D．8
【例2】已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．
【题型专练】
1．（多选）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为B．
C．的周长为D．的面积为4
2.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
题型四： 双曲线的渐近线有关题型
焦点在轴上的渐近线为
焦点在轴上的渐近线为
若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可
即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
【例1】双曲线与有相同的（ ）
A．离心率B．渐近线C．实轴长D．焦点
【例2】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B．C．D．
【例3】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．
【例4】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A．B． C．D．
【例5】设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
2.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（ ）
A．3B．C．D．
3.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
题型五： 双曲线的离心率问题
【例1】已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆去双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例2】双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【例3】已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例4】已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例5】设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型专练】
1．过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线，左、右焦点分别为、，O为坐标原点，P为右支上一点，且，O到直线的距离为b，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
5．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
7．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
题型六： 双曲线的最值问题
【例1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.
【例3】已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．
【题型专练】
1.设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．12D．14
2．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
3.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为___________.