新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练3-5 函数y=Asin(ωx+φ） (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc17386" 3-5 函数y=Asin(ωx+φ） PAGEREF _Tc17386 \h 1
\l "_Tc5283" 一、主干知识 PAGEREF _Tc5283 \h 1
\l "_Tc896" 考点1：简谐运动的有关概念 PAGEREF _Tc896 \h 1
\l "_Tc28668" 考点2：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 PAGEREF _Tc28668 \h 2
\l "_Tc10942" 考点3：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 PAGEREF _Tc10942 \h 2
\l "_Tc14221" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc14221 \h 2
\l "_Tc24784" 二、分类题型 PAGEREF _Tc24784 \h 3
\l "_Tc8483" 题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 PAGEREF _Tc8483 \h 3
\l "_Tc27204" 题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 PAGEREF _Tc27204 \h 5
\l "_Tc30022" 题型三 三角函数图象、性质的综合应用 PAGEREF _Tc30022 \h 9
\l "_Tc21251" 命题点1 图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc21251 \h 9
\l "_Tc26541" 命题点2 利函数零点(方程根)问题 PAGEREF _Tc26541 \h 9
\l "_Tc24956" 命题点3 三角函数模型 PAGEREF _Tc24956 \h 10
\l "_Tc18524" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc18524 \h 13
一、主干知识
考点1：简谐运动的有关概念
考点2：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
考点3：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
【常用结论总结】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
二、分类题型
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
（2021•乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则
A．B．C．D．
（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
（2019•天津）已知函数，，是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A．B．C．D．2
（多选）（2020•海南）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
（2019•全国）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）设，求在区间，的最大值与最小值．
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
函数（﹥，且）在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．把的图象向左平移个单位可以得到的图象
（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数在上单调递减
C．该图象向右平移个单位可得的图象
D．函数关于点对称
已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式．
(2)先将的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像．当时，求的值域．
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数图像的一个对称中心为
D．函数的图像可由图像向右平移个单位得到
（多选）已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．的图像关于直线对称
C．在上为增函数
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
已知函数的部分图像如图所示．，，．
(1)求的解析式；
(2)将的图像先向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数为，若对于恒成立，求实数m取值范围．
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
（多选）已知函数图象的一个对称中心是，且，则以下结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．为偶函数
C．在上的最小值为D．若，则
已知函数．
(1)设，函数是偶函数，求的值；
(2)若在区间上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围．
命题点2 利函数零点(方程根)问题
已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
命题点3 三角函数模型
石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约. “梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为( )
A．79米B．157米C．113米D．189米
（多选）如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设O到地面的高OT为，点P为转轮边缘上任意一点，点P在x轴上的垂足为M，转轮半径为，记以OP为终边的角为，点P离地面的高度为，则（ ）
A．点P坐标为B．
C．D．
某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．
(1)求，，，的值；
(2)摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度；
(3)在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长．
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，
A．B．C．D．
2．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1B．C．D．3
3．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
4．（2021•上海）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是
A．B．C．D．
5．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是
A．B．，C．D．，
6．（2021•乙卷）
A．B．C．D．
7．（2020•新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为
A．B．C．D．
8．（2019•天津）已知函数，，是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A．B．C．D．2
9．（2019•天津）已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则
A．B．C．D．2
10．（2019•新课标Ⅱ）若，是函数两个相邻的极值点，则
A．2B．C．1D．
11．（2019•新课标Ⅲ）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点；
②在有且仅有2个极小值点；
③在单调递增；
④的取值范围是，．
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
12．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则
A．在区间单调递减
B．在区间，有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
13．（多选）（2020•海南）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
14．（2022•北京）若函数的一个零点为，则 ； ．
15．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则 ．
16．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 2 ．
17．（2021•上海）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是 ．
18．（2020•上海）已知函数，．
（1）的周期是，求，并求的解集；
（2）已知，，，，求的值域．
1．（2023•广西模拟）的值所在的范围是
A．B．C．D．
2．（2022秋•益阳期末）已知函数，若，，则，对应的值为
A．B．C．D．
3．（2022秋•长寿区校级期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是
A．
B．图象的一条对称轴的方程为
C．在区间上单调递增
D．的解集为
4．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，，若，且函数的部分图象如图所示，则等于
A．B．C．D．
5．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数，，在区间，上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
6．（2022秋•河西区校级期末）为了得到函数的图：只需把函数图象上的所有点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度
7．（多选）（2023春•大连期中）函数（其中，，的图象如图所示，下列说法正确的是
A．是它的一条对称轴
B．的增区间为，
C．函数为奇函数
D．若，，则
8．（2023春•沈河区校级期中）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围．
1．（2022•天津三模）设函数，则下列结论正确的是
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点，对称
C．把的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．的最小正周期为，且在，上为增函数
2．（2022春•湖北月考）已知函数，的图象如图所示，无理数．
（1）求的解析式并解不等式；
（2）证明：函数在定义域内有唯一零点，且．
3．（2021春•岑溪市期末）已知函数，满足关系，
（1）设，求的解析式；
（2）当时，存在，，对任意，恒成立，求的最小值．y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
x
﹣
﹣+
﹣
ωx+φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx+φ）
0
A
0
﹣A
0