新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练5-1 基本立体图形 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc16636" 5-1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 PAGEREF _Tc16636 \h 1
\l "_Tc518" 一、主干知识 PAGEREF _Tc518 \h 1
\l "_Tc28074" 考点1：空间几何体的结构特征 PAGEREF _Tc28074 \h 2
\l "_Tc31270" 考点2：直观图 PAGEREF _Tc31270 \h 2
\l "_Tc4973" 考点3：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 PAGEREF _Tc4973 \h 2
\l "_Tc17555" 考点4：柱、锥、台、球的表面积和体积 PAGEREF _Tc17555 \h 3
\l "_Tc20130" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc20130 \h 3
\l "_Tc23200" 二、分类题型 PAGEREF _Tc23200 \h 4
\l "_Tc28687" 题型一 基本立体图形 PAGEREF _Tc28687 \h 4
\l "_Tc7097" 命题点1 结构特征 PAGEREF _Tc7097 \h 4
\l "_Tc19526" 命题点2 直观图 PAGEREF _Tc19526 \h 5
\l "_Tc31153" 命题点3 展开图 PAGEREF _Tc31153 \h 5
\l "_Tc26415" 题型二 表面积与体积 PAGEREF _Tc26415 \h 6
\l "_Tc25766" 命题点1 表面积 PAGEREF _Tc25766 \h 6
\l "_Tc25825" 命题点2 体积 PAGEREF _Tc25825 \h 7
\l "_Tc23293" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc23293 \h 8
一、主干知识
考点1：空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
考点2：直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
考点3：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
考点4：柱、锥、台、球的表面积和体积
【常用结论总结】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
二、分类题型
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
下列命题正确的是( )
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
【解析】A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
(多选)下列说法错误的是( )
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【解析】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故答案 ABC
命题点2 直观图
（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校联考阶段练习）如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A．B．C．16D．8
【解析】在正方形中可得，由斜二测画法可知，，且，，
所以四边形为平行四边形，所以．故选：B.
（2023·江苏·高一专题练习）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意可得：，由直观图可得原图，如图所示，可知：，可得，所以原三角形的周长.故选：B.
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝
eq \f(\r(2),4)S原图形．
如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：由题得,所以.故选：B．
（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．

【解析】在直观图中，，所以在还原图中，，如图，

在直观图中，，为的三等分点，
所以在还原图中，，D为OA的三等分点，
又在直观图中，轴，
所以在还原图中，轴，则，
所以，则，
故，，所以四边形OABC是等腰梯形，
所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，
即．
故答案为：.
（2023春·北京房山·高一北师大良乡附中校考阶段练习）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为 ．
【解析】根据直观图，还原原图可得OABC，如图所示：
根据原图与直观图的关系可得，，且，
所以，
所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8，
故答案为：8
命题点3 展开图
如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R＝eq \r(5)，扇形弧长l＝4π，则该圆锥的表面积为( )
A．2π B．(4＋2eq \r(5))π C．(3＋eq \r(5))π D．8π＋eq \r(5)
【解析】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，∴圆锥的表面积S表＝S底面圆＋S侧＝πr2＋eq \f(1,2)lR＝π×22＋eq \f(1,2)×4π×eq \r(5)＝(4＋2eq \r(5))π.
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
【解析】如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，∴r·l＝2.又圆锥侧面展开图为半圆，∴eq \f(1,2)πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
（2023·山东烟台·统考三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图作出圆锥的轴截面，依题意，，，
所以，易知，则，所以，
即圆锥的内接圆柱的底面半径，高，
所以圆柱的侧面积.
故选：C
（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，
所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：C.
（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
【解析】∵∴∴
∴.故答案为：.
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
（2023·河南郑州·统考模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（ ）．

A．B．
C．D．
【解析】所求几何体的侧面积为，上下底面面积为，挖去圆柱的侧面积为，则所求几何体的表面积为．故选：C．
（2023·山东潍坊·统考二模）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为，高为.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于.则该模型的侧面积至少为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱，
所以侧面积为，
当球形灯球心到各面的距离等于时，中间六棱柱的高为，
由球心到侧面距离为8，可知棱柱底面边长满足，解得，
所以中层正六棱柱的侧面积，
故该模型的侧面积至少为，故选：B
（2023春·山东聊城·高一山东省聊城第四中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（ ）（，，）
A．B．C．D．
【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，
所以，解得，
所以正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，棱台的高为，
所以方亭的斜高为，
由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以，
所以方亭的表面积.
故选：C
命题点2 体积
(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2) C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
【解析】作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝eq \r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq \r(2)，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
(2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．
【解析】如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2×eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(3,2)，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
＝eq \f(1,3)··D1A1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×2＝1.
求空间几何体的体积的常用方法
《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
【解析】如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM＝eq \f(1,3)·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋eq \f(1,3)·FH·S矩形NBCM
＝eq \f(1,3)×1×1×3＋eq \f(1,2)×3×1×2＋eq \f(1,3)×1×1×3＝5(立方丈)．
（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．4B．C．6D．
【解析】根据三视图可得到直观图，如下图：

连接，该几何体可分为四棱锥和三棱锥，
其中矩形的面积为，
故，
，
故该几何体的体积为.

故选：D
如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为 .

【解析】作平面，垂足为点，点为正方形的中心，连结，
，，所以，

所以四棱锥的体积.
故答案为：
（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．

【解析】在直观图中，，所以在还原图中，，如图，

在直观图中，，为的三等分点，
所以在还原图中，，D为OA的三等分点，
又在直观图中，轴，
所以在还原图中，轴，则，
所以，则，
故，，所以四边形OABC是等腰梯形，
所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，
即．故答案为：.
（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，它能在万米高空观察敌方的地面设施和军事力量部署．我国无侦—8（如图1）是一款以侦察为主的无人机，它动力强劲，比大多数防空导弹都要快．已知空间中同时出现了A，B，C，D四个目标（目标与无人机的大小忽略不计），如图2，其中，，，且目标A，B，D所在平面与目标B，C，D所在平面恰好垂直，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为 ．

【解析】如图所示，三棱锥的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圆圆心，记为，连接，，则.
设，连接，则①.
过点作于，过点作于，连接，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
又平面，所以四边形为矩形，故，.
在中，，，，所以，
故，所以，.
取的中点，则，连接，则，，
故，
故在中，，即②.
由①②解得所以最小侦测半径为.
故答案为：.

三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•济南一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为
A．B．C．D．
【分析】求出直观图三角形的面积，利用平面图形的面积是直观图面积的倍，求出直观图的面积即可．
【解答】解：三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，
直观图的面积是，
由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系，
直观图的面积为，
故选：．
【点评】本题考查平面图形的三视图，由三视图还原实物图，是一个简单的计算题目，解题的关键是对于这两个对应的图形的面积之比要掌握．两个面积可以互相推出．
2．（2023•武侯区校级模拟）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为
A．B．C．D．
【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可．
【解答】解：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，
设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即，
所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为．
故选：．
【点评】本题主要考查旋转体的结构特征和曲线所对的圆心角，属于中档题．
3．（2023•东风区校级模拟）已知一个圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是16，则该圆柱的体积是
A．B．C．D．
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由题意列关于与的方程组，求得与的值，代入圆柱体积公式求解．
【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，
由题意可得，，解得．
该圆柱的体积是．
故选：．
【点评】本题考查圆柱的侧面积、表面积与体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为
A．24B．26C．28D．30
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：
故该几何体的表面积为：．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积，主要考查学生的理解能力和计算能力及空间想象能力，属于基础题．
5．（2023•鞍山一模）已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是
A．B．C．D．
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，由圆锥的侧面积求出，再由勾股定理求出，由体积公式求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，
因为侧面展开图扇形的面积为，
所以，解得，
又圆锥的母线长为2，
所以，
则．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
6．（2023•辽宁二模）已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【分析】先设该圆锥的底面半径与母线长分别为，，再根据题意求得的值，结合勾股定理求得的值，进而即可求得圆锥的侧面积．
【解答】解：设该圆锥的底面半径与母线长分别为，，
由，得，
所以，
所以该圆锥的侧面积．
故选：．
【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．
7．（2023•东阳市模拟）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥的高为，其侧棱与高的夹角为，则该正四棱锥的体积约为
A．B．C．D．
【分析】设正四棱锥的底面边长为，连接，交于点，连接，易得平面，，再根据高为求解．
【解答】解：如图所示，设正四棱锥的底面边长为，
连接，交于点，连接，
则平面，由题可得，
故，所以，
解得，
所以该正四棱锥的体积．
故选：．
【点评】本题考查正四棱锥的体积的求解，属基础题．
8．（2023•市中区校级模拟）某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为
A．B．C．D．5
【分析】根据三视图知该几何体是四棱锥，放入长方体中，几何体的外接球与长方体的外接球相同，利用长方体的对角线是外接球的直径，求出即可．
【解答】解：根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4、3、2的长方体中，如图所示：
则该几何体的外接球与长方体的外接球相同，设半径为，则，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了利用三视图求几何体外接球的半径应用问题，是基础题．
9．（2023•益阳模拟）我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6．则这个问题中的刍童的体积为
A．13.25立方丈B．26.5立方丈C．53立方丈D．106立方丈
【分析】由已知结合题目给出的体积公式求解．
【解答】解：由题意，下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈．
则刍童的体积为丈．
故选：．
【点评】本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，是基础的计算题．
10．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A．B．C．D．
【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解答】解：，，
根据题意，增加的水量约为
．故选：．
【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2022•北京）已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为
A．B．C．D．
【分析】设点在面内的投影为点，连接，根据正三角形的性质求得的长，并由勾股定理求得的长，进而知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆．
【解答】解：设点在面内的投影为点，连接，则，
所以，
由，知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆，
所以其面积．
故选：．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．
12．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2B．C．4D．
【分析】设母线长为，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意，设母线长为，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有，解得，
所以该圆锥的母线长为．
故选：．
【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
13．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为
A．B．C．D．
【分析】法一：过作，得，．连接，，过作，求出，从而，由此能求出正四棱台的体积．
法二：由四棱台的几何特征算出几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式能求出结果．
【解答】解法一：如图为正四棱台，，，．
在等腰梯形中，过作，可得，
．
连接，，
，，
过作，，
，
正四棱台的体积为：
．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
则该棱台的体积为：
．
故选：．
【点评】本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
14．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为
A．B．C．D．
【分析】由三视图还原原几何体，其中底面，，，再由三角形面积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
底面，，，
则是边长为的等边三角形，
则该四面体的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
15．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 ． ．
【分析】由底面积为解出底面半径，再代入侧面积公式求解即可．
【解答】解：因为圆柱的底面积为，即，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
16．（2021•甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为 ．
【分析】由题意，设圆锥的高为，根据圆锥的底面半径为6，其体积为求出，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．
【解答】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为，
设圆锥的高为，则，解得，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．
1．（2023•南江县校级二模）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.3厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为 （单位：平方厘米）
A．B．C．D．
【分析】设出该圆台的上底面、下底面的半径，讨论、的取值，求出圆台的母线长和侧面积，由此求出答案．
【解答】解：设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，
当，时，圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为，
当，时，圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为，
所以圆台的侧面积满足．
故选：．
【点评】本题考查了圆台的结构特征与侧面积计算问题，是基础题．
2．（2023•泸县校级模拟）过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为
A．B．C．D．
【分析】由扇形的面积公式为，画出示意图即可求解；
【解答】解：扇形的面积公式为，
设圆锥母线长为，
则，，
，
故选：．
【点评】考查圆锥侧面积公式，相似比，属于基础题；
3．（2023•梅河口市校级三模）已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为
A．B．C．4D．
【分析】根据圆台的母线长和上、下底面圆半径的比求出截圆锥所得圆台时圆锥的母线长，根据其侧面展开图所在扇形的圆心角求出底面圆的半径，由此求出圆台的高．
【解答】解：圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为，所以，解得，
因为其侧面展开图所在扇形的圆心角为，所以，解得，
所以，
所以圆台的高为．
故选：．
【点评】本题考查了扇形的圆心角弧度数与圆台的结构特征应用问题，是基础题．
4．（2023•广西模拟）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【分析】根据球的表面积求出半径，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，根据等腰三角形的外接圆性质求出圆锥的高，再利用勾股定理求出母线长，即可计算圆锥的侧面积．
【解答】解：画出圆锥的轴截面，如图所示：
设球的半径为，则，解得．
设圆锥底面圆的半径为，则，
所以圆锥的高为，
圆锥的母线长为，
所以该圆锥的侧面积为．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的外接球应用问题，也考查了直观想象的核心素养，是基础题．
5．（2023•宜春一模）如图所示，在等腰梯形中，，，现将梯形依次绕着、、各点顺时针翻转，则在第一次绕着点翻转的过程中，对角线扫过的平面区域面积为
A．B．C．D．
【分析】求出等腰梯形的底角和的大小，利用余弦定理求出，再计算翻转后扫过的平面区域面积．
【解答】解：等腰梯形中，，，过点作与点，则，
因为，所以，，由余弦定理得，，解得，因为，即翻转，所以翻转，
所以扫过的平面区域面积为．
故选：．
【点评】本题考查了解三角形以及平面图形的旋转问题，是基础题．
6．（2023•南宁一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．B．8C．32D．
【分析】由三视图知该几何体是平行六面体，结合图中数据求解即可．
【解答】解：由三视图知，该几何体是平行六面体，底面是矩形，矩形长为4，宽为2，看作底面为四边形的四棱柱，则四棱柱的高为4，如图所示：
计算该几何体的体积为．
故选：．
【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，是基础题．
7．（2023•青羊区校级模拟）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为
A．B．C．D．
【分析】设圆锥的底面圆半径为，高为，根据题意知过底面圆的圆心的直径与圆周上的点组成直角三角形，利用相似三角形求出与的关系，再求圆锥的体积取得最大值时圆锥的底面半径．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，高为，
因为圆锥的底面和顶点都在一个球面上，且球的半径为5，
则过底面圆的圆心的直径与圆周上的点组成直角三角形，且，
所以，
所以，即，其中；
圆锥的体积，
求导数，令，解得或（舍去），
所以时，，函数单调递增，，时，，函数单调递减，
所以时，取得最大值，此时圆锥的底面半径为，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥与球的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
8．（多选）（2023•宜章县二模）在正四棱台中，，，为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，下列说法正确的有
A．该正四棱台的高为2
B．该正四棱台的体积为224
C．平面截该正四棱台的截面面积是
D．该正四棱台的内切球半径为1
【分析】根据正四棱台的结构特征以及体积公式，利用基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式，求解即可．
【解答】解：设，上底面和下底面的中心分别为，，
该四棱台的高，．
在上底面与下底面中，由勾股定理可知，
，．
在直角梯形中，有，
即，所以，
所以该四棱台的体积为，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，，，选项正确，错误．
取的中点，连接、，有，
由于平面，平面，所以平面，平面是截面．
，，
在直角梯形中，，
在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，，
则，，
，
则梯形的面积为，所以选项正确．
根据正四棱台的结构特征知，正四棱台的内切球球心在上，且内切球的直径，
所以该正四棱台的内切球半径为1，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了空间中的线面关系，基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
1．（2023•赤峰模拟）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为
A．B．C．D．
【分析】棱长为的正四面体内切一球，那么球与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，求出上面三棱锥的高，利用相似比求出上部空隙处放入一个小球，求出这球的最大半径．
【解答】解：由题意，此时的球与正四面体相切，
由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是
又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的倍，
又高为，故底面中心到底面顶点的距离都是2
由此知顶点到底面的距离是
此正四面体的体积是，
又此正四面体的体积是，故有．
上面的三棱锥的高为，原正四面体的高为，
所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为，
，
．
故选：．
【点评】本题考查球的体积和表面积，用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．相似比求解球的半径是解题的关键．
2．（多选）（2023•东风区校级模拟）如图，在棱长为3的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是
A．
B．点的轨迹是一个半径为的圆
C．直线与平面所成角为
D．三棱锥体积的最大值为
【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断选项；利用勾股定理计算出的长，可判断选项；利用线面角的定义可判断选项；计算出面积的最大值，结合锥体体积公式可判断选项．
【解答】解：对于选项，连接，因为四边形为正方形，则，
平面，平面，则，
因为，平面，
平面，，
同理可证，，平面，
平面，，对；
对于选项，设平面，
因为，所以，三棱锥为正三棱锥，
所以，，，，
平面，平面，，即，，
因为，即，，解得，
所以，点的轨迹是半径为1的圆，错；
对于选项，平面，所以，与平面所成的角为，
且，，故，对；
对于选项，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
因为平面，则三棱锥的高为，
所以，三棱锥体积的最大值为，对．
故选：．
【点评】本题考查了立体几何的综合，属于难题．
3．（2022•岳普湖县一模）如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面．四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ．
【分析】由题意可知，四面体顶点在同一个球面上，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．
【解答】解：平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，
使平面平面．四面体顶点在同一个球面上，和△都是直角三角形，
的中点就是球心，所以，球的半径为：；
所以球的体积为：；
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．
4．（2019•长沙模拟）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且．，．设是底面内一点，定义，，，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，，，且恒成立，则正实数的最小值为 1 ．
【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等关系，解之即可．
【解答】解：、、两两垂直，且．，．
即则
解得
正实数的最小值为1
故答案为：1
【点评】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行
且全等
多边形
互相平行
且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点
但不一定相等
延长线交
于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S表＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
S表＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
S表＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积