新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练6-3 等比数列 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc25354" 6-3 等比数列 PAGEREF _Tc25354 \h 1
\l "_Tc32745" 一、主干知识 PAGEREF _Tc32745 \h 1
\l "_Tc14692" 考点1：等比数列的有关概念 PAGEREF _Tc14692 \h 1
\l "_Tc12831" 考点2：等比数列的有关公式 PAGEREF _Tc12831 \h 2
\l "_Tc6170" 考点3：等比数列的常用性质 PAGEREF _Tc6170 \h 2
\l "_Tc30358" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc30358 \h 2
\l "_Tc26378" 二、分类题型 PAGEREF _Tc26378 \h 3
\l "_Tc31335" 题型一 等比数列基本量的运算 PAGEREF _Tc31335 \h 3
\l "_Tc14545" 题型二 等比数列的判定与证明 PAGEREF _Tc14545 \h 4
\l "_Tc24573" 题型三 等比数列的性质 PAGEREF _Tc24573 \h 5
\l "_Tc8047" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc8047 \h 6
一、主干知识
考点1：等比数列的有关概念
(1)定义：（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
考点2：等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
考点3：等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
【常用结论总结】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
3．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
4．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
二、分类题型
题型一 等比数列基本量的运算
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．30B．C．40D．
（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设是等比数列，且，，则（ ）
A．8B．-8C．4D．-4
（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则______.
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知正项等比数列满足，则的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
（2023春·江西抚州·高二资溪县第一中学校考期中）已知数列满足，若，则_________．
（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知等比数列中，若成等差数列，则______．
题型二 等比数列的判定与证明
（2023·全国·高二专题练习）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.
(1)求证：数列为等比数列，并求出的通项；
(2)求证：当n为偶数时，.
（2023·广东东莞·校考三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
（2023·全国·高二专题练习）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证
（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列满足，，
(1)若数列是等比数列，求及的通项公式；
(2)若数列满足：，数列的前项和为，求证：.
（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
题型三 等比数列的性质
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．3
（2023·全国·模拟预测）在等比数列中，，且，则的前10项和为（ ）
A．322B．336C．341D．366
（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ）
A．6B．16C．D．2
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．8B．6C．4D．3
（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则_______．
（2023·全国·高三专题练习）公比的等比数列满足，，则__________．
（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，，证明：．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
2．（2021•甲卷）记为等比数列的前项和．若，，则
A．7B．8C．9D．10
3．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则
A．12B．24C．30D．32
4．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则
A．B．C．D．
5．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
6．（2018•全国）已知等比数列的前项和为，，，则
A．8B．6C．4D．2
7．（2018•北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为
A．B．C．D．
8．（2018•北京）设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
10．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：，，
A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年
11．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则 ．
12．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列满足，，则 ．
13．（2017•江苏）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则 ．
14．（2017•上海）已知数列的通项公式为，则 ．
15．（2018•新课标Ⅲ）等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
1．（2021•宜宾模拟）设是等比数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记是数列的前项和，若，求．
2．（2020•广元模拟）记为各项均为正数的等比数列的前项和，已知，，记，其中表示不超过的最大整数，如，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和．
3．（2023•渝中区校级模拟）已知正项等比数列满足，，公比．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，判断数列有没有最大项？若有，求出第几项为最大项？若没有，请说明理由．
4．（2023•日照三模）已知数列满足：，．
（1）当时，求数列中的第10项；
（2）是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由．
5．（2023•闵行区校级一模）已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点，均在函数图像上．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：中任何不同三项不构成等差数列．
6．（2023•嘉定区校级三模）已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点，均在函数图像上．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由．
7．（2023•龙华区校级模拟）已知数列的各项均为正数且均不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列：
②；
③是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
8．（2023•广西模拟）已知数列为等比数列，其前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的正整数的最大值．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．
设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且_____．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1．已知，都是定义在上的函数，，，且且，，对于有穷数列，任取正整数，则前项和大于的概率是
A．B．C．D．
2．已知数列满足，且，则的值是
A．B．C．5D．
3．已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求正整数的值；
（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由．