新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练9-9 概率与统计的综合问题 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc17431" 9-9 概率与统计的综合问题 PAGEREF _Tc17431 \h 1
\l "_Tc6680" 一、分类题型 PAGEREF _Tc6680 \h 2
\l "_Tc11448" 题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题 PAGEREF _Tc11448 \h 2
\l "_Tc9440" 题型二 回归模型与分布列的综合问题 PAGEREF _Tc9440 \h 3
\l "_Tc8832" 题型三 独立性检验与分布列的综合问题 PAGEREF _Tc8832 \h 4
\l "_Tc21701" 二、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc21701 \h 5
一、分类题型
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)，(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为求出，再由频率直方图中位数的计算方法求解即可；（2）求出的可能取值，及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可得出答案.
【解答】（1）由直方图可知，
解得．因为，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为，则，解得．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在内的有4名，在内的有8名．
由题意可知的所有可能取值为．
，，
，，，
则的分布列为
某“双一流”大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（资金3000元）、专业二等奖学金（奖金1500元）和专业三等奖学金（奖金600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图1是该校2022年500名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图2是这500名学生在2022年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图.

(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数.
(2)若将每周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，画出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？
(3)若以频率作为概率，从该校任选1名学生，记该学生2022年获得的专业奖学金的金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望.
附表：
观测值计算公式：.
【答案】(1)人(2)列联表见解析，能；(3)分布列见解析，期望为元.
【分析】（1）根据直方图和频率柱状图求出获专业三等奖学金频率，进而求对应人数；
（2）由图分析出非努力、努力型学生人数，分别求出其中对应获一、二等奖学金的人数，进而得到列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；
（3）该学生2022年获得的专业奖学金的金额为，根据已知图求对应概率，写出分布列，进而求期望.
【解答】（1）由题图，专业三等奖学金频率为，
所以500名学生中获得专业三等奖学金的人数人；
（2）非努力型学生人数为人，
其中获一、二等奖学金的人数为人，
所以努力型学生人数为人，其中获一、二等奖学金的人数为人，
综上，列联表如下：
，
所以依据小概率值的独立性检验，能认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关.
（3）由题设，该学生2022年获得的专业奖学金的金额为，
，
，
，，
分布列如下：
元.
某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)分别求第三，四，五组的频率；
(2)该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．
①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有名同学，求的分布列．
【答案】(1)第三组的频率是0.3，第四组的频率是0.2，第五组的频率是0.1
(2)①②分布列见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图可得答案；
（2）①由（1）可知第三，四，五组所占的比例，可得甲乙两名同学同时被选中的概率；②第四组共有X名同学，求出X的取值和对应的概率可得分布列.
【解答】（1）第三组的频率是0.150×2＝0.3，
第四组的频率是0.100×2＝0.2，
第五组的频率是0.050×2＝0.1；
（2）①由（1）可知，第三，四，五组所占的比例为，
在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个，
而第三组共有100×0.3＝30个，
所以甲乙两名同学同时被选中的概率为，
②第四组共有X名同学，所以X的取值为0，1，2，
；；；
所以X的分布列为
为了调动学生学习数学的积极性，张老师对教学方法进行改革，经过教学实验，张老师的80名学生数学成绩都在[50，100]内，按区间分为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．

(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)73.5
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【解答】（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．

(1)请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．
附：，其中．
【答案】(1)列联表见解析；成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得的值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，求得抽取的10人中合格有人，优秀的为人，得到服从超几何分布，得出的可能值，求得相应的概率，列出分布列.
【解答】（1）解：根据题意，得到列联表
零假设：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关，
可得．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以的把握认为成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联.
（2）解：根据频率分布直方图，可得大于600分的频率为，
小于600分的频率为，
所以由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人，
则从这10人中随机抽取5人，优秀人数服从超几何分布，
由题意的可能值为0，1，2，3
可得，，，
所以随机变量分布列为
某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间内（单位：千元），按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如下图.

(1)将一年来网购消费金额在20千元以上称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
(2)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：.临界值表：
【答案】(1)有(2)17.5千元.(3)数学期望为.
【分析】（1）完成列联表，再计算卡方判断即可；
（2）根据中位数左右两边频率均为0.5可判断中位数位于区间内，再列式求解即可；
（3）解法一：根据二项分布的数学期望直接求解即可；
解法二：设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，再求解分布列与数学期望即可.
【解答】（1）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.
因为非网购迷人数共有，其中男性45人，则女性有20人，所以补全的列联表如下：
因为，
查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（2）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，
后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.
设直方图的面积平分线为，则，得，
所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
（3）解法一：由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，
据题意，，.
所以，，
因为，则，所以的数学期望为
解法二：设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，则.
因为，的可能取值为0，1，2，则的可能取值为0，1，2，3，4.
由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.
则，
，
，
所以，即的数学期望为.
高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确的把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．
题型二 回归模型与分布列的综合问题
某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：
(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）
(2)某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）
附：，，在线性回归直线方程中，．
【答案】(1)
(2)7824元．
【分析】（1）根据题中数据可以先算出，然后再算，结合即可算出，进而由可以算出，将、代入即可.
（2）由题意可以先算出总成本（千元），然后求收入元的分布列以及均值，最终用的均值代表收入减去总成本即可.
【解答】（1）因为，，
所以，
由题意可知，
所以，
又因为，
所以回归方程为．
（2）由回归方程知，若农户草莓的种植量为200箱，则成本为（千元）．
设农户草莓的种植量为200箱时的收入为元，200箱草莓供给大型商超和小商贩分别箱和，显然，
由题意，因此以及Y的可能取值如下表：
所以Y的分布列为：
所以，
所以预测所获利润约为元．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x；和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中．
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预测值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？
【答案】(1)
(2)
(3)年销售量预测值为， 年利润的预测值为,当时，有最大值.
【分析】（1）根据散点图的特点进行判断即可；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，结合所给的公式进行求解即可；
（3）运用代入法，结合配方法进行求解即可.
【解答】（1）根据散点图可以看出这些点在曲线上，所以适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（2），
所以立y关于x的回归方程为；
（3）当时，，
；
，
当时，即时，有最大值.
2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
附：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.
【答案】(1)，订单数量y与月份t的线性相关性较强
(2)，6.05万件
【分析】（1）根据公式求出相关系数的值，即可判断；
（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，代入回归方程求解即可.
【解答】（1），，
，
，
，
，
订单数量y与月份t的线性相关性较强；
（2），
，
线性回归方程为，
令，则（万件），
即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
市场监管部门统计了某网红饮品小店在2023年4月至8月的销售收入（单位：万元），得到以下数据：
(1)根据表中所给数据，求出关于的线性回归方程，并估计2023年9月份该小店的销售收入；
(2)为调查顾客对该小店的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．
附：线性回归方程：，
其中，
，
【答案】(1)，估计为19万元
(2)列联表见解析，有
【分析】（1）根据题中数据及公式求出，可得线性回归方程，将代入可估计2023年9月份该小店的销售收入；
（2）由已知写出列联表，根据公式求的值，结合独立检验的基本思想得到结论．
【解答】（1）由已知得：，
，
，
，
则关于的线性回归方程为，
当时，，
∴估计2023年9月份该小店的销售收入19万元．
（2）因为200名顾客中男顾客有100名，则女顾客有100名，
女顾客中不喜欢该网红饮品小店的有30名，则喜欢的有70名，
200名顾客中喜欢该网红饮品小店的有110名，则男顾客中喜欢的有40名，不喜欢的有60名，
则2×2列联表如下所示：
根据列联表中数据，
，
所以有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．
随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：
(1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额．
参考公式及数据：， ，
【答案】(1)，因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系；
(2)，预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．
【分析】（1）利用公式算出相关系数，根据数据数据判断相关性的大小；
（2）利用公式求出回归方程，并对数据进行预测.
【解答】（1）由已知数据可得，，
所以，
所以
因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系
（2）由已知数据可得，
所以
，
所以，关于的回归方程为
令，则（万元）
所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．
某研发小组为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量和年销售额的数据（），建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.设，，经过计算得如下数据.
(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型.
(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立关于的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归方程，若当年的销售额大致为亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式：相关系数，
线性回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为，.
【答案】(1)模型的拟合程度更好
(2)，8亿元
【分析】（1）根据题干所给数据求出相关系数为、即可判断；
（2）由（1）可得两边取对数可得，即，再由所给数据求出、，即可得到回归方程，再代入求出即可.
【解答】（1）由题意可知，
因为，所以从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.
（2）因为，所以，即.
由题中数据可得，
则，从而关于的线性回归方程为，
故，即.
将年销售额亿元，代入，得，解得，
故估计当年的研发资金投入量为亿元.
为了解大学校园附近餐馆的月营业收入（单位：千元）和该店周围的大学生人数（单位：千人）之间的关系，抽取了10所大学附近餐馆的有关数据，如下表所示．
(1)根据以上数据，建立月营业收入y与该店周围的大学生人数x的回归方程；
(2)已知某餐馆周围的大学生人数为人，试对该店月营业收入作出预测．
参考公式：，
【答案】(1)
(2)千元
【分析】（1）利用最小二乘法即可求得回归方程；
（2）将的值代入回归方程求出的预报值即可得解．
【解答】（1）由表中数据可知，
，
，
，
所以，，
因此回归方程为，
（2）因为餐馆周围的大学生人数为人，即千人，
当时，，
所以该店铺的月销售额约为千元．
流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)计算变量的相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强?
附：回归方程中，，相关系数.
【答案】(1)(2)，该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强
【分析】（1）计算相关数据代入公式求解；
（2）计算相关系数并判断相关性强弱.
【解答】（1），，
，
，
，，
所以与之间线性回归方程为.
（2），
则，
因为且非常接近，所以该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.
高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求解时注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
题型三 独立性检验与分布列的综合问题
某超市为了解顾客是否购买某件商品与该商品的摆放位置的相关性，做了下面的试验：在第一个月内，将该商品摆放在收银台附近的位置，随机抽查200名顾客，有40名顾客购买该商品：在第二个月内，将该商品摆放在距离收银台较远的柜架上，随机抽查200名顾客，有20名顾客购买该商品.
(1)填写下面的列联表，是否有99%的把握认为顾客是否购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关?
(2)为了进一步调查顾客的购买情况，从两个月内购买该商品的顾客中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行电话回访，记抽到的3人中在第二个月内购买该商品的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)列联表见解析，有(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意完成列联表即可，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；（2）根据分层抽样的定义分别求出两个月中所抽的人数，写出随机变量的可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【解答】（1）补充完整的列联表如下：
所以，
故有99%的把握认为顾客购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关；
（2）由题意，抽取人数中第一个月有（人），
第一个月有（人），则随机变量可取，
，，，
所以分布列如下表：
所以.
中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格：
(1)完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；
(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目，记其中男性的人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
【答案】(1)表格见解析，能；(2)分布列见解析，2.
【分析】（1）根据给定的数表，完善列联表，再求出的观测值，并与临界值表比对作答.（2）求出抽取的6人中男女性人数，求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
【解答】（1）由给定的数表知，男性总人数为400，其中比较关注的有240人，女性中比较关注的有150人，列联表如下：
则
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关.
（2）已知600人中男性与女性的比为，则所抽男性人数为人，所抽女性人数为人，
依题意，的可能值为1，2，3，，
因此，，，
所以的分布列为：
期望为.
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；
(2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
附：，其中，
【答案】(1)答案见解析；
(2)认为喜爱打篮球与性别有关；
(3)分布列见解析，1.
【分析】（1）求出喜欢打篮球的学生人数，完善2×2列联表.
（2）求出的观测值，再与临界值比对作答.
（3）求出的可能值，求出每个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
【解答】（1）依题意，喜欢打篮球的学生人数为，
完善列联表如下：
（2）零假设：喜爱打篮球与性别无关，
由（1）得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以认为喜爱打篮球与性别有关.
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，
则，
所以的分布列为
的数学期望.
某高校男､女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男､女各60名学生的成绩，情况如下表：
(1)是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？
(2)从这60名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望；
(3)将抽取的这120名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率.若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加.现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率.
附：
【答案】(1)没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关(2)分布列见解析，(3)
【分析】（1）由条件计算，再比较其与临界值的大小，并作出判断；（2）由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望；（3）根据概率乘法公式和概率加法公式求对应事件的概率．
【解答】（1）完善二联表如下：
所以，所以没有的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关；
（2）合格人数的取值有0，1，2，
，，，
所以的概率分布为：
所以；（3）由已知该校学生首次参加英语四级考试成绩合格的概率为，
首次不合格第二次合格的概率为，
所以两位同学都首次参加英语四级考试成绩合格的概率为，
两位同学其中一位首次合格，另一位同学首次不合格，第二次合格的概率为，
两位同学都首次不合格，第二次都合格的概率为，
所以至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率为
为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查.统计数据如下表：从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全上面的列联表，并判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.（相关计算精确到）
(2)从经常应用智慧课堂的学校中，采用分层抽样的方法抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取3个学校到所在的地域进行核实，记其中农村学校的个数为，求的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关；
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）根据题意补全列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想下结论；（2）由题设知农村学校个数，进而求其分布列，再求期望值即可.
【解答】（1）由题设，城市学校中偶尔应用或者不应用智慧课堂有个，
所以列联表如下：
，
所以有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）由题意，5个学校中2个是农村学校，3个是城市学校，
所以农村学校个数，且，，，
分布列如下：
期望.
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．
某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：
(1)根据2×2列联表，判断是否有99%的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；
(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；
附：，其中，
【答案】(1)有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算，与临界值比较得到结论；
（2）根据的所有可能取值，计算相应的概率，列分布列，利用公式求数学期望
【解答】（1）假设为：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联．
根据列联表中数据，经的所有可能计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关．
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
（或，）．
某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表所示．现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
(1)求2×2列联表中的数据p、q、x、y的值；
(2)能否有99%把握认为注射此种疫苗有效？
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
参考公式：其中．
临界值表：
【答案】(1)，，
(2)能有99%把握认认为注射此种疫苗有效
(3)．
【分析】（1）由从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，可得，再结合列联表中的数据可求，；
（2）计算，对比临界值表可得结论；
（3）列出所有可能的情况及符合条件的情况，由古典概型的计算公式求解即可．
【解答】（1）由从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，可得，解得，
又由表格中的数据可知，解得，
于是.
（2）因为，
所以能有99%把握认认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为3：2，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗用a、b、c表示，2只已注射疫苗用D、E表示．从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，；
其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：
，，，，，，；
所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为．
近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
(1)能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差.
参考公式：，其中.
【答案】(1)有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
（3）由二项分布的期望、方差公式，结合期望、方差的性质计算作答.
【解答】（1）零假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由给定的数表得，，
于是不成立，所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）记事件：小张周一选择平台买菜；事件：小张周二选择平台买菜，
则，，，
由全概率公式得，
所以小张周二选择平台买菜的概率为.
（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为，
显然从社区随机抽取20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，即，
因此，而，
则，
所以，.
近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
(1)是否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2)社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求李华周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的的值.
参考公式：，其中.
【答案】(1)有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
(2)
(3)12
【分析】（1）根据题意，计算出的值即可求解；
（2）根据概率的乘法公式求解；
（3）利用二项分布求出，然后计算，可得结果.
【解答】（1）零假设社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由题可得，
，
所以零假设不成立，
所以有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）周二选择平台买菜的情况有：
①周一选择平台买菜，周二选择平台买菜，概率为,
②周一选择平台买菜，周二选择平台买菜，概率为,
所以李华周二选择平台买菜的概率为.
（3）由表知，喜欢网上买菜的频率为，则,
所以
设，
令，解得，；
，解得，
所以当时，最大，
所以使取得最大值时的的值为12.
某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，
(1)求的分布列及均值；
(2)求选出的4人中至少有3名男生的概率．
【答案】(1)分布列见解析，2.4
(2)
【分析】（1）由题设知服从超几何分布，利用超几何的概率分布即可求出分布列，再利用均值的定义即可求出均值；
（2）利用（1）中的分布列即可求出结果.
【解答】（1）依题意得，随机变量服从参数为的超几何分布，
随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4.
，，，
，
所以的分布列为：
故.
（2）由分布列可知至少选3名男生，
即.
二、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
A．B．C．D．
【分析】利用古典概型、排列组合等知识直接求解．
【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为．
故选：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为
A．B．C．D．
【分析】作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：如图，为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成的区域为圆环，
而直线的倾斜角不大于的点构成的区域为图中阴影部分，
所求概率为．
故选：．
【点睛】本题考查几何概型的概率的求解，属基础题．
3．（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为
A．B．C．D．
【分析】从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．
【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，
基本事件总数，
这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数，
则这2名学生来自不同年级的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2023•上海）如图为年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．
【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，正确．
故选：．
【点睛】本题考查统计图的识图问题，以及增长率的计算，属于中档题．
5．（2023•北京）的展开式中，的系数是
A．B．40C．D．80
【分析】首先找出二项展开式的通项公式，然后令的次数为1，找到的对应值，带回通项公式即可求得．
【解答】解：由二项式定理可知展开式的第项
，，1，，
令，可得．即含的项为第3项，
，故的系数为80．
故选：．
【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式的应用，属简单题．
6．（2023•甲卷）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
【分析】根据题意，设某人报足球俱乐部为事件，报乒乓球俱乐部为事件，由古典概型公式求出（A）和，进而由条件概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件，报乒乓球俱乐部为事件，
则（A），
由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由人，则，
则．
故选：．
【点睛】本题考查条件概率的计算，涉及集合间的基本关系，属于基础题．
7．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【分析】根据散点图及线性相关的知识，即可求解．
【解答】解：相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选：．
【点睛】本题考查线性相关问题，属基础题．
8．（2023•全国）在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为
A．B．C．D．
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：在2、3、5、6中任选2个不同数字，基本事件总数，
其乘积能被3整除的基本事件有5个，分别为：，，，，，
则其乘积能被3整除的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．
9．（2022•甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，
，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有，，，，，，共6种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率；
故选：．
【点睛】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．
10．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A．B．C．D．
【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．
【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，
故所求概率为．
故选：．
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：的分组区间为，，，，，，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
A．8B．12C．16D．18
【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，由此能求出结果．
【解答】解：志愿者的总人数为，
第3组的人数为，
有疗效的人数为人．
故选：．
【点睛】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2022•乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：，得如图茎叶图：
则下列结论中错误的是
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案．
【解答】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项说法正确；
由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项说法正确；
甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项说法错误；
乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项说法正确．
故选：．
【点睛】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．
13．（2022•全国）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数，1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．
【解答】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，
基本事件总数，
，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，
若要使选取的三个数字和能被3整除，
则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，
这3个数的和能被3整除的不同情况有：
，
这3个数的和能被3整除的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，，
两点数和为7的所有可能为，，，，，，
（甲，（乙，（丙，（丁，
（甲丙）（甲（丙，
（甲丁）（甲（丁，
（乙丙）（乙（丙，
（丙丁）（丙（丁，
故选：．
【点睛】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．
15．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【分析】先计算出3个1和2个0随机排成一行，2个0相邻的概率，再利用对立事件概率之和等于1，即可求解．
【解答】解：将两个0捆绑在一起，进行插空，故共有种方法，
故2个0不相邻的概率．
故选：．
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属于基础题．
16．（2021•甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A．B．C．D．
【分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然后由古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：6个空位选2两个放0，剩余4个放1，故总的排放方法有种，
利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故排放方法有种，
所以所求概率为．
故选：．
【点睛】本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于不相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题．
17．（2021•乙卷）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为
A．B．C．D．
【分析】由题意可得可行域：，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．
【解答】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积，
．
故选：．
【点睛】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（2021•全国）3位男同学与3位女同学随机排成一行，其中两端都不是女同学的概率为
A．B．C．D．
【分析】利用排列知识求得基本事件总数，再求出两端都不是女同学的事件数，然后利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：3位男同学与3位女同学随机排成一行，排法总数，
其中两端都不是女同学的排法种数为，
则其中两端都不是女同学的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共1小题）
19．（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则
A．，，，的平均数等于，，，的平均数
B．，，，的中位数等于，，，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，，的标准差
D．，，，的极差不大于，，，的极差
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解：选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；
选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，错误．
选项，，，，正确．
故选：．
【点睛】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
三．填空题（共10小题）
20．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 0.5 ．
【分析】根据古典概型求解即可．
【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，
恰有1名男生2名女生的事件个数为，
则恰有1名男生2名女生的概率为．
故答案为：0.5．
【点睛】略
21．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可求解；根据古典概型概率公式即可求解．
【解答】解：设盒子中共有球个，
则甲盒子中有黑球个，白球个，
乙盒子中有黑球个，白球个，
丙盒子中有黑球个，白球个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率．
故答案为：；．
【点睛】本题考查相互独立事件乘法公式，考查古典概型，是基础题．
22．（2023•上海）已知事件的对立事件为，若（A），则 0.5 ．
【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：事件的对立事件为，
若（A），则．
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则 0.14 ．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：随机变量服从正态分布，
，
，
故答案为：0.14．
【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
24．（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．
【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为．
方法二：
由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数，
根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率．
【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
25．（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．
【解答】解：根据题意可得：的取值可为1，2，3，4，
又，
，
，
，
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．
26．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
【分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．
【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．
27．（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为 ；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为 ．
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到的条件下，第二次抽到的概率．
【解答】解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，
则，（B），
，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
28．（2022•甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【分析】根据题意，由组合数公式计算“从正方体的8个顶点中任选4个”的取法，分析其中“4个点在同一个平面”的情况，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有种取法，
若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，
则这4个点在同一个平面的概率；
故答案为：．
【点睛】本题考查古典概型的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
29．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 17 （用数字作答）
【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大的四位数，
故有个比2134大的四位数，
故答案为：17．
【点睛】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．
四．解答题（共20小题）
30．（2023•全国）盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
（1）求取到2个标有数字1的球的概率；
（2）设为取出的2个球上的数字之和，求随机变量的分布列及数学期望．
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；
（2）由题意可知，所有可能的取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）取到2个标有数字1的球的概率；
（2）由题意可知，所有可能的取值为2，3，4，5，
，，，，
故的分布列为：
故．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
31．（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，2，．试验结果如下：
记，2，，，记，，，的样本平均数为，样本方差为．
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【分析】（1）根据表中数据，计算，2，，，求平均数和方差．
（2）根据和，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算，2，，，填表如下：
计算平均数为，
方差为．
（2）由（1）知，，，
所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．
32．（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算即可；
（Ⅱ）根据相互独立事件的乘法公式求解即可；
（Ⅲ）分别求得“上涨”、“下跌”和“不变”的概率，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为．
（Ⅱ）由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为，
40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为，
则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率．
（Ⅲ）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，
“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为，
“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为，
“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为，
故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．
【点睛】本题考查古典概型，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．
33．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表；
（ⅱ）根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
【分析】（1）根据平均数的定义计算即可．
（2）把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数，填写列联表即可；
根据列联表中数据计算，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为
．
（2）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，
因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，
所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以这组数据的中位数是；
填写列联表如下：
根据列联表中数据，计算，
所以有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了平均数与中位数的计算问题，是基础题．
34．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．
（1）设表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
【分析】（1）根据组合数公式及古典概型的概率公式，分布列的概念及期望的定义，即可求解；
（2）根据中位数的概念，即可求解；根据独立性检验原理，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得，1，2，
又，
，
，
的分布列为：
；
（2）个数据从小到大排列后，中位数即为第20位和第21位数的平均数，
第20位数为23.2，第21位数为23.6，
，
补全列联表为：
由可知，
能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，中位数的求解，独立性检验原理的应用，化归转化思想，属中档题．
35．（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
【分析】（1）根据概率公式分别进行计算即可．
（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可．
【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率（A），
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率（B）．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即，
则．
（A）（B），（A）（B），
即事件和事件不独立．
（2）由题意知，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，
，，，
则的分布列为：
则（元．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率公式求出对应的概率是解决本题的关键，是中档题．
36．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
【分析】（1）根据已知条件，列出等式，即可求解；
（2）根据已知条件，分，，，两种情况，依次求出函数，即可求解．
【解答】解：（1）当漏诊率（c）时，
则，解得；
（c）；
（2）当，时，
（c）（c）（c），
当，时，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值为0.02．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
37．（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）＝．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，构造得Pn+1﹣＝0.4（Pn﹣），结合等比数列的定义可得{Pn﹣}是首项为，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；
（3）由（2）得Pi＝+×（）i﹣1，当n∈N*时，E（Y）＝P1+P2+...+Pn，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，
则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，
∴Pn+1﹣＝0.4（Pn﹣），
又P1﹣＝﹣＝≠0，则{Pn﹣}是首项为，公比为0.4的等比数列，
∴Pn﹣＝×（）n﹣1，即Pn＝+×（）n﹣1，
∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi＝+×（）i﹣1；
（3）由（2）得Pi＝+×（）i﹣1，
∴当n∈N*时，E（Y）＝P1+P2+...+Pn＝+＝+＝[1﹣（）n]+，
综上所述，E（Y）＝[1﹣（）n]+，n∈N*．
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
38．（2022•甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：．
【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；
（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．
【解答】解：（1）公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故公司准点的概率为；
公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故公司准点的概率为；
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，公司共260辆，公司共240辆，
，
有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
【点睛】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
39．（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．
【分析】（1）利用平均数公式求解即可．
（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．
（3）利用条件概率公式计算即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的频率为：
，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间，为事件，此人患这种疾病为事件，
则．
【点睛】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．
40．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出．
（Ⅲ）丙夺冠概率估计值最大，因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩，比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利，所以丙冠军的概率估计值最大．
【解答】解：（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，且丙投出过三人成绩中的最大值，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
41．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分的值可取0，10，20，30，分别求出取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．
【解答】解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
的期望．
【点睛】本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大．
42．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．
【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算，对照附表得出结论．
（2）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；
（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．
【解答】解：（1）补充列联表为：
计算，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）证明：；
（ⅱ）利用调查数据，，，，，
所以．
【点睛】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．
43．（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：和材积量（单位：，得到如下数据：
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．
【解答】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：，；
（2）由题可知，；
（3）设总根部面积和，总材积量为，则，故．
【点睛】本题考查线性回归方程，属于中档题．
44．（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望．
【分析】（1）由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；
（2）由题意可知X的取值为3，4，5，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．
【解答】解：（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为＝．
（2）随机变量X的取值为3，4，5，
则，
×，
，
所以随机变量X的分布列为：
则随机变量X的数学期望为E．
【点睛】本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．
45．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【分析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
（2）由（1）可得，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则，
，
所以的分布列为：
（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
46．（2021•乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；
（2）比较与的大小，即可判断得到答案．
【解答】解：（1）由题中的数据可得，，
，
；
；
（2），，
因为，
所以，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
【点睛】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
47．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
【分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据列联表，求出，再将的值与6.635比较，即可得出结论；
【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【点睛】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
48．（2021•北京）在核酸检测中，“合1”混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设是检测的总次数，求的分布列与数学期望．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设是检测的总次数，试判断数学期望与（Ⅰ）中的大小．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，即可得出结论．
（ⅱ）由题意可得：，30．由已知可得：，进而得出及其分布列与数学期望．
（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
（ⅱ）由题意可得：，30．
，．
可得分布列：
．
（Ⅱ）由题意可得：，30．
，．
可得分布列：
．
．
另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，则，
此时有；
而，
．
【点睛】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
49．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【分析】（Ⅰ）利用数学期望的计算公式求解即可；
（Ⅱ）对进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数，由二次函数的性质分析证明即可；
（Ⅲ）由题中的含义，分析和的含义即可．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，，，，，
故；
（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，
所以，变形为，
所以，
即，
即，
令，
若时，则的对称轴为，
注意到，（1），
若时，（1），
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
【点睛】本题考查了样本估计总体的应用，事件概率的理解和应用，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．0
1
2
3
4
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
非努力型
努力型
专业一、二等奖学金
92
36
128
非专业一、二等奖学金
348
24
372
440
60
500
0
600
1500
3000
0.424
0.32
0.198
0.058
X
0
1
2
P
经常锻炼
不经常锻炼
合计
合格
25
优秀
10
合计
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
经常锻炼
不经常锻炼
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
合计
45
55
100
X
0
1
2
3
P
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
合计
60
40
100
x
10
20
30
40
60
80
y
50
100
150
200
150
100
50
0
45000
50000
55000
60000
Y
45000
50000
55000
60000
P
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
月份t
1
2
3
4
订单数量y（万件）
5.2
5.3
5.7
5.8
月份
4
5
6
7
8
销售收入
10
12
11
12
20
喜欢
不喜欢
总计
男
100
女
30
总计
110
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
喜欢
不喜欢
总计
男
40
60
100
女
70
30
100
总计
110
90
200
年份编号
1
2
3
4
5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
销售额（单位：万元）
1513
1465
1202
1060
860
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
学生人数x/千人
2
6
8
8
12
16
20
20
22
26
月营业收入y/千元
58
105
88
118
117
137
157
169
149
202
年龄
2
3
4
5
6
患病人数
21
20
15
14
10
购买人数
未购人数
合计
商品摆放在收银台附近
商品摆放在距离收银台较远的柜架上
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
购买人数
未购人数
合计
商品摆放在收银台附近
40
160
200
商品摆放在距离收银台较远的柜架上
20
180
200
合计
60
340
400
X
0
1
2
P
年龄
男性
人数
40
120
160
80
比较关注人数
8
72
112
48
女性
人数
10
70
100
20
比较关注人数
5
49
80
16
比较关注
不太关注
总计
男性
女性
总计
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
比较关注
不太关注
总计
男性
240
160
400
女性
150
50
200
总计
390
210
600
1
2
3
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
6
女生
10
合计
48
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
0
1
2
合格
不合格
男生
35
25
女生
45
15
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
合格
不合格
总计
男生
35
25
60
女生
45
15
60
总计
80
40
120
0
1
2
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村学校
40
城市学校
60
总计
100
60
160
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村学校
40
40
80
城市学校
60
20
80
总计
100
60
160
0
1
2
A款盲盒套餐
B款盲盒套餐
合计
年龄低于30岁
18
30
48
年龄不低于30岁
22
10
32
合计
40
40
80
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0
1
2
3
P
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
p
x
注射疫苗
60
q
y
总计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.0
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
4
P
2
3
4
5
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
9
6
8
15
11
19
18
20
12
时段
价格变化
第1天到
第20天
0
0
0
0
0
第21天
到第40天
0
0
0
0
0
15.2
18.8
20.2
21.3
22.5
23.2
25.8
26.5
27.5
30.1
32.6
34.3
34.8
35.6
35.6
35.8
36.2
37.3
40.5
43.2
7.8
9.2
11.4
12.4
13.2
15.5
16.5
18.0
18.8
19.2
19.8
20.2
21.6
22.8
23.6
23.9
25.1
28.2
32.3
36.5
对照组
试验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3
150
300
600
准点班次数
未准点班次数
240
20
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
第一场比赛
第二场比赛
第三场比赛
甲学校获胜概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜概率
0.5
0.6
0.2
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
X
3
4
5
p（X）
0
20
100
0.2
0.32
0.48
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
20
30
25
30